[論文レビュー] Optimal Capacity Modification for Many-To-One Matching Problems

Jiehua Chen, Gergely Csáji|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2023

Game Theory and Voting SystemsEconomics, Econometrics and Finance被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、安定かつ完全、または安定かつパレート効率的マッチングを達成するための多くの1対1マッチング問題における最適な容量増加を検討する。本稿では、Min Max SE（安定かつ効率的マッチングのための最大容量増加を最小化する問題）が多項式時間で解ける一方で、他のすべての変種であるMin Sum SP、Min Sum SE、およびMin Max SPはNP困難であることを証明しており、標準的な複雑性仮定のもとで強い近似不能性結果を示している。

ABSTRACT

We consider many-to-one matching problems, where one side consists of students and the other side of schools with capacity constraints. We study how to optimally increase the capacities of the schools so as to obtain a stable and perfect matching (i.e., every student is matched) or a matching that is stable and Pareto-efficient for the students. We consider two common optimality criteria, one aiming to minimize the sum of capacity increases of all schools (abbrv. as MinSum) and the other aiming to minimize the maximum capacity increase of any school (abbrv. as MinMax). We obtain a complete picture in terms of computational complexity: Except for stable and perfect matchings using the MinMax criteria which is polynomial-time solvable, all three remaining problems are NP-hard. We further investigate the parameterized complexity and approximability and find that achieving stable and Pareto-efficient matchings via minimal capacity increases is much harder than achieving stable and perfect matchings.

研究の動機と目的

• 安定的かつ完全マッチングを達成するための学校の容量を変更する問題の計算複雑性を特定すること。
• 容量増加を用いた安定的かつパレート効率的マッチングを達成する問題の複雑性を分析すること。
• 総容量増加（Min Sum）および最大容量増加（Min Max）の2つの基準に基づく容量変更の最適性を評価すること。
• 得られる問題のパラメータ化された複雑性と近似可能性を調査すること。
• 多くの1対1マッチングにおける容量変更の4つの変種について、完全な計算複雑性の図を提供すること。

提案手法

• Gadgetに基づく構成を用いて、3-SATから還元することで、Min Sum SP、Min Sum SE、およびMin Max SPのNP困難性を証明する。
• 制限された優先順位リスト長を有する3-SATへの還元を用いて、近似不能性を示す：P = NPでない限り、O((n+m)^{1−ε})-近似アルゴリズムは存在しない。
• 妥当な容量増加ベクトルから安定的かつ効率的マッチングを構築し、3-SATインスタンスにおける真偽割り当てと整合性を保証する。
• Min Max SEが多項式時間で解けることを証明する。これは、容量制約付きの最大フロー問題に帰着できることを示す。
• |U_un|（未マッチな学生数）、Δ_un（優先順位リスト長）、k^+（容量が増加した学校の数）などのパラメータを用いて、パラメータ化された複雑性を分析する。
• 安定マッチングから3-SATインスタンスを満たす真偽割り当てへの写像を用い、妥当な解と満たす割り当てとの間の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定的かつパレート効率的マッチングを達成するための最大容量増加を最小化する問題（Min Max SE）は、多項式時間で解けるか？
• RQ2 安定的かつ完全マッチングを達成するための総容量増加を最小化する問題（Min Sum SP）および安定的かつ効率的マッチングを達成するための問題（Min Sum SE）はNP困難か？
• RQ3 Min Max SPおよびMin Sum SP問題は、定数因子または部分多項式因子の範囲内で近似可能か？
• RQ4 未マッチな学生数や最大優先順位リスト長といったパrameterに関して、容量変更問題のパラメータ化された複雑性はいかなるものか？
• RQ5 Min Sum SEおよびMin Max SEに対して非自明な近似アルゴリズムは存在するか、それとも標準的な複雑性仮定のもとで近似不能であるか？

主な発見

• Min Max SE（安定的かつ効率的マッチングのための最大容量増加を最小化する問題）は、多項式時間で解ける。
• Min Sum SP（安定的かつ完全マッチングのための総容量増加を最小化する問題）はNP困難である。
• Min Sum SE（安定的かつ効率的マッチングのための総容量増加を最小化する問題）はNP困難である。
• Min Max SP（安定的かつ完全マッチングのための最大容量増加を最小化する問題）はNP困難である。
• P = NPでない限り、Min Sum SEまたはMin Max SEに対してO((n+m)^{1−ε})-近似アルゴリズムは存在しない。これは、優先順位リストの長さが5に制限された場合でさえ成り立つ。
• 未マッチな学生数|U_un|または学生と学校の優先順位リスト長の合計をパラメータとしてパラメータ化した場合、問題はパラメータ化されたNP困難のままである。