[論文レビュー] Optimal Download Cost of Private Information Retrieval for Arbitrary Message Length

Hua Sun, Syed A. Jafar|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2016

Cryptography and Data Security参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、任意のメッセージ長および任意のアルファベットに対するプライベートインフォメーションリtrieval（PIR）の最適ダウンロードコストを確立する。メッセージとダウンロードが同じM進アルファベットを使用する場合、最小ダウンロードコストは正確に$ \lceil L/C \rceil$ であり、異なるアルファベットを使用する場合、コストは$ \lceil L' / C \rceil$ から2シンボル以内に収まる。ここで$ L' = \lceil L \log_{M'} M \rceil $ であり、$ C $ はPIR容量を表す。

ABSTRACT

A private information retrieval scheme is a mechanism that allows a user to retrieve any one out of $K$ messages from $N$ non-communicating replicated databases, each of which stores all $K$ messages, without revealing anything about the identity of the desired message index to any individual database. If the size of each message is $L$ bits and the total download required by a PIR scheme from all $N$ databases is $D$ bits, then $D$ is called the download cost and the ratio $L/D$ is called an achievable rate. For fixed $K,N\in\mathbb{N}$, the capacity of PIR, denoted by $C$, is the supremum of achievable rates over all PIR schemes and over all message sizes, and was recently shown to be $C=(1+1/N+1/N^2+\cdots+1/N^{K-1})^{-1}$. In this work, for arbitrary $K, N$, we explore the minimum download cost $D_L$ across all PIR schemes (not restricted to linear schemes) for arbitrary message lengths $L$ under arbitrary choices of alphabet (not restricted to finite fields) for the message and download symbols. If the same $M$-ary alphabet is used for the message and download symbols, then we show that the optimal download cost in $M$-ary symbols is $D_L=\lceil\frac{L}{C} ceil$. If the message symbols are in $M$-ary alphabet and the downloaded symbols are in $M'$-ary alphabet, then we show that the optimal download cost in $M'$-ary symbols, $D_L\in\left\{\left\lceil \frac{L'}{C} ight ceil,\left\lceil \frac{L'}{C} ight ceil-1,\left\lceil \frac{L'}{C} ight ceil-2 ight\}$, where $L'= \lceil L \log_{M'} M ceil$.

研究の動機と目的

• メッセージ長$ L $ が漸近的極限に制限されない有限かつ任意の長さである場合のプライベートインフォメーションリtrieval（PIR）における最小ダウンロードコストを特定すること。
• 従来のPIR容量結果（以前は$ L \to \infty $ のみ有効）を、有限かつ任意のメッセージ長に拡張すること。
• メッセージとダウンロードが異なるアルファベットを使用する場合の最適ダウンロードコストを特徴づけること。これは、有限体に限定されない。
• 下位のアルファベット構造（例えば非体アルファベットを含む）に依存しない、ダウンロードコストのタイトな境界を提供すること。
• 従来は漸近的にのみ知られていた容量$ C $ が、適切な条件下で有限長設定でも正確に達成可能であることを確立すること。

提案手法

• 著者らは情報理論的議論を用いてダウンロードコストの下界を導出し、メッセージが$ M $-進、ダウンロードが$ M' $-進アルファベットの場合に$ D \geq \left\lceil \frac{L \log_2 M}{C \log_2 M'} \right\rceil $ を示す。
• メッセージが$ M $-進で、ダウンロードが$ M' $-進である場合、異なるメッセージ表現を保持するため、$ L' = \lceil L \log_{M'} M \rceil $ 個の$ M' $-進シンボルに$ M $-進メッセージをマッピングする単純なPIR方式を構築する。
• この方式は、$ M' $-進アルファベット用に既知の容量を達成するPIR方式を用い、$ M' $-進シンボルでのダウンロードコストが$ \lceil L' / C \rceil $ となる。
• この方式のコストと理論的下界との差が2シンボル以内であることを証明し、境界のタイトさを確立する。
• 線形方式や有限体に制限しない分析を実施し、メッセージとダウンロードの両方に対して任意のアルファベットを許容する。
• 容量$ C \geq 1/2 $ が$ N \geq 2 $ のとき成り立つことを利用し、上界と下界の差が2シンボルで有界であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メッセージ長$ L $ が有限かつ任意である場合（漸近的に大きくない場合）、PIRにおける最小ダウンロードコストは何か？
• RQ2 最適ダウンロードコストが、メッセージとダウンロードのアルファベットの選択にどのように依存するか、特にそれらが異なる場合にどうなるか？
• RQ3 漸近的PIR容量$ C $ は、有限長メッセージに対して正確に達成可能か？ もしそうなら、どのような条件下で達成可能か？
• RQ4 有限な$ L $ に対して、達成可能な方式と情報理論的下界との間のダウンロードコストギャップのタイトな上界は何か？
• RQ5 非体アルファベット（例えば素数冪でないサイズ）を用いる場合、PIR方式の設計と最適性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• メッセージとダウンロードが同じ$ M $-進アルファベットを使用する場合、最適ダウンロードコストは正確に$ D_L = \lceil L / C \rceil $ であり、ここで$ C $ はPIR容量を表す。
• メッセージが$ M $-進、ダウンロードが$ M' $-進アルファベットの場合、$ M' $-進シンボルでの最適ダウンロードコストは集合$ \left\{ \left\lceil \frac{L'}{C} \right\rceil, \left\lceil \frac{L'}{C} \right\rceil - 1, \left\lceil \frac{L'}{C} \right\rceil - 2 \right\} $ に属する。ここで$ L' = \lceil L \log_{M'} M \rceil $ である。
• 達成可能なレート$ L/D_L $ は自動的に特徴づけられ、容量$ C $ を超えることはできず、導出された条件下では有限$ L $ に対しても等号が成立する可能性がある。
• ダウンロードコストの下界は$ \left\lceil \frac{L \log_2 M}{C \log_2 M'} \right\rceil $ であり、提案された方式はこの境界から2シンボル以内のコストを達成する。
• 直接和を$ M $ でモジュロ演算するのみに依存するため、有限体に制限されず、非体アルファベットへの拡張も可能である。
• 分析により、$ L $ が$ N^K $ の倍数である場合、漸近的容量$ C $ が有限長設定でも正確に達成可能であることが確認され、それ以外の場合はタイトな境界が与えられる。