[論文レビュー] Optimal Dynamic Strings

Paweł Gawrychowski, Adam Karczmarz+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Algorithms and Data Compression参考文献 42被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、連結、分割、等価比較、辞書順比較、および最長共通接頭語（LCP）クエリをすべてO(log n)の最悪ケース時間でサポートする動的文字列の最適なデータ構造を提示する。更新処理は高確率でO(log n)、クエリ処理はO(1)の最悪ケース時間である。この解決策は、ランダム化ハッシュを用いた文脈に依存しない解析木表現を採用し、最適な境界を達成する。これは、更新またはクエリのいずれかに対して、アムortizedでΩ(log n)の下界が示されることにより、最適性が証明される。

ABSTRACT

In this paper we study the fundamental problem of maintaining a dynamic collection of strings under the following operations: concat - concatenates two strings, split - splits a string into two at a given position, compare - finds the lexicographical order (less, equal, greater) between two strings, LCP - calculates the longest common prefix of two strings. We present an efficient data structure for this problem, where an update requires only $O(\log n)$ worst-case time with high probability, with $n$ being the total length of all strings in the collection, and a query takes constant worst-case time. On the lower bound side, we prove that even if the only possible query is checking equality of two strings, either updates or queries take amortized $Ω(\log n)$ time; hence our implementation is optimal. Such operations can be used as a basic building block to solve other string problems. We provide two examples. First, we can augment our data structure to provide pattern matching queries that may locate occurrences of a specified pattern $p$ in the strings in our collection in optimal $O(|p|)$ time, at the expense of increasing update time to $O(\log^2 n)$. Second, we show how to maintain a history of an edited text, processing updates in $O(\log t \log \log t)$ time, where $t$ is the number of edits, and how to support pattern matching queries against the whole history in $O(|p| \log t \log \log t)$ time. Finally, we note that our data structure can be applied to test dynamic tree isomorphism and to compare strings generated by dynamic straight-line grammars.

研究の動機と目的

• 連結、分割、等価性テスト、辞書順比較、LCP計算といった基本的な操作を効率的にサポートする動的文字列データ構造の設計。
• すべてのコア操作について、O(log n)の最悪ケース更新時間（高確率）とO(1)の最悪ケースクエリ時間の達成。
• 等価性クエリまたは更新をサポートする任意の動的文字列データ構造に対して、アムortizedでΩ(log n)の下界が存在することの証明により、提案手法の最適性の裏付け。
• 履歴を考慮した編集や動的文法に基づく文字列生成を含む、動的かつ永続的ストリングコレクションにおけるパターンマッチングを効率的にサポートするようにデータ構造を拡張すること。

提案手法

• 文字列は、再帰的縮小関数から導かれる閉じた直線文法に基づく一意な記号で表される文脈に依存しない解析木表現を用いる。
• 事前計算されたランダムビットを用いたランダム化ハッシュスキームを維持し、部分文字列を一意に特定するとともに、定数時間での比較とLCPクエリを可能にする。
• 各記号のレベルはランダムビットのチェックに基づき決定され、レベルベースの構築法を用いることで、一意な表現と効率的なナビゲーションを保証する。
• 木ポインタを用いて圧縮された解析木をナビゲートし、組合せ的ツールボックスにより効率的なポインタ操作とパス圧縮を実現する。
• 永続的データ構造を用いて文法のバージョンを維持することで、動的更新を可能とし、編集履歴を考慮した操作と履歴間のパターンマッチングを実現する。
• パターンマッチングをサポートするための補助的コンponentsを追加：短いパターン用に永続的な文字列ポインタと、長いパターン用の二段階インデックスを導入し、クエリと更新のコストをそれぞれlog²nおよびlog t log log tにスケーリングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結、分割、等価性、辞書順比較、LCPといった基本的な動的文字列操作について、O(log n)の最悪ケース更新時間とO(1)の最悪ケースクエリ時間は達成可能か？
• RQ2 任意の動的文字列データ構造において、更新またはクエリのいずれかに対して、アムortizedでΩ(log n)の下界が存在するか？
• RQ3 このデータ構造は、非永続的および永続的な動的コレクション（編集履歴を含む）における効率的なパターンマッチングを拡張してサポートできるか？
• RQ4 この構造は、動的木の同型性をテストし、動的直線文法から生成される文字列を比較するために使用できるか？

主な発見

• 提案されたデータ構造は、高確率でO(log n)の最悪ケース更新時間と、すべてのコア操作についてO(1)の最悪ケースクエリ時間を達成し、理論的下界と一致する。
• 等価性クエリまたは更新をサポートする任意の動的文字列データ構造に対して、アムortizedでΩ(log n)の下界が証明され、提案手法の最適性が裏付けられる。
• 短いパターンでは、クエリ時間O(|p|)、長いパターンではO(|p| log²n)、更新時間O(log²n)でパターンマッチングをサポートする。
• t回の編集がなされた永続的コレクションでは、更新時間O(log t log log t)、パターンマッチング時間O(|p| log t log log t)を達成する。
• 文法ベースの表現により、文字列と文法内の記号との間で一対一対応が保証され、正しさの簡素化と効率的なナビゲーションを可能にする。
• このアプローチにより、動的木の同型性のテストや、動的直線文法から生成される文字列の比較を効率的に行うことが可能となり、応用範囲が拡張される。