[論文レビュー] Optimal learning of quantum Hamiltonians from high-temperature Gibbs states

Jeongwan Haah, Robin Kothari+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、高温ギブズ状態から量子ハミルトニアンの係数を学習するための最適なアルゴリズムを提示する。サンプル複雑度は $ O(\log N / (\beta\varepsilon)^2) $、時間複雑度は $ O(SN) $ を達成し、情報理論的下界を用いた一致する下界により最適性が証明される。手法は期待値の級数展開と、マルコフ確率場技術を用いた条件付き確率推定に依存する。

ABSTRACT

We study the problem of learning a Hamiltonian $H$ to precision $\varepsilon$, supposing we are given copies of its Gibbs state $ρ=\exp(-βH)/\operatorname{Tr}(\exp(-βH))$ at a known inverse temperature $β$. Anshu, Arunachalam, Kuwahara, and Soleimanifar (Nature Physics, 2021, arXiv:2004.07266) recently studied the sample complexity (number of copies of $ρ$ needed) of this problem for geometrically local $N$-qubit Hamiltonians. In the high-temperature (low $β$) regime, their algorithm has sample complexity poly$(N, 1/β,1/\varepsilon)$ and can be implemented with polynomial, but suboptimal, time complexity. In this paper, we study the same question for a more general class of Hamiltonians. We show how to learn the coefficients of a Hamiltonian to error $\varepsilon$ with sample complexity $S = O(\log N/(β\varepsilon)^{2})$ and time complexity linear in the sample size, $O(S N)$. Furthermore, we prove a matching lower bound showing that our algorithm's sample complexity is optimal, and hence our time complexity is also optimal. In the appendix, we show that virtually the same algorithm can be used to learn $H$ from a real-time evolution unitary $e^{-it H}$ in a small $t$ regime with similar sample and time complexity.

研究の動機と目的

• 高温でのギブズ状態のコピーから未知のハミルトニアン係数を学習するための、サンプル数と時間の両面で効率的なアルゴリズムの開発。
• 幾何的に局所的なハミルトニアンに関する先行研究を、低交差性を持つより広いクラスのハミルトニアンへと拡張すること。
• サンプル複雑度のタイトな境界を確立し、情報理論的下界を用いて最適性を証明すること。
• サンプル複雑度の最適性に起因して、時間複雑度が最適であることを示すこと。
• 同じフレームワークが、小時間 $ t $ の範囲における時間発展演算子 $ e^{-itH} $ からの学習にも適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 対数分割関数の多変数テイラー展開を用いて、期待値を連結クラスタの形で表現する。
• クラスタに基づく微分を用い、連結クラスタを列挙することでハミルトニアンの係数を推定する。
• モーメントマッチングから導かれる連立一次方程式系をニュートン・ラプソン法で解き、サンプルサイズに比例する線形時間で収束を保証する。
• サンプルからの経験的頻度を用いてスピン状態の条件付き確率を推定し、チェルノフ型集中不等式から導かれる誤差バウンドを適用する。
• ギブズ状態のマルコフ確率場表現に帰着させ、局所的マルコフ性を活用して条件付き確率の推定問題に還元する。
• 近隣領域に基づく再帰的分解を用い、条件付き期待値によって個々のハミルトニアン係数を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高温ギブズ状態からの量子ハミルトニアン学習における最適なサンプル複雑度は何か？
• RQ2 サンプルサイズに線形な時間複雑度を達成しつつも、最適なサンプル複雑度を維持できるか？
• RQ3 提案されたアルゴリズムのサンプル複雑度はタイトか？ また、下界によって一致するか？
• RQ4 このフレームワークは、小時間 $ t $ の範囲における時間発展演算子 $ e^{-itH} $ からの学習へとどのように拡張できるか？
• RQ5 幾何的に局所的なハミルトニアンを超えて、低交差性クラスへと一般化可能か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、$ S = O(\log N / (\beta\varepsilon)^2) $ のサンプル複雑度を達成し、対数要因を除いて最適である。
• 時間複雑度は $ O(SN) $ であり、サンプルサイズに比例する線形時間であり、サンプル複雑度の最適性に起因して最適性が証明される。
• $ \ell_\infty $ および $ \ell_2 $ 誤差の両方において、一致する情報理論的下界が確立され、サンプル複雑度の最適性が確認される。
• 同じアルゴリズム的フレームワークは、小時間 $ t $ の範囲における時間発展演算子 $ e^{-itH} $ からのハミルトニアン学習へと適応可能であり、同様の複雑度を達成する。
• この手法は、ギブズ状態のマルコフ確率場表現における条件付き確率の推定に依存し、集中不等式から導かれる誤差バウンドが適用される。
• 解析により、$ O(\exp(2\beta(Ld)d + Ld + 4\beta d + 2\beta\varepsilon) / (\beta^2\varepsilon^2)) $ のサンプル数で十分であり、失敗確率およびシステムサイズに対して対数的依存性があることが示される。