[論文レビュー] Optimal Lojasiewicz-Simon inequalities and Morse-Bott Yang-Mills energy functions

Paul M. N. Feehan|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 64被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、バナッハ多様体上のモース–ボットYang–Millsエネルギー関数に対して、ヘシアンがインデックスゼロのフレドホルム作用素であるという従来の要請を除去した最適なŁojasiewicz–Simon勾配不等式を確立する。自己双対および全Yang–Millsエネルギー関数について、それぞれ反自己双対接続および平坦接続の近傍で最適な不等式を証明し、$d \geq 2$ に対して $L^{d/2}$-曲率指数の臨界点にまで、ウーレンベックの平坦接続の存在定理を拡張する。結果として、モース–ボット構造および勾配フローの指数的収束が確認される。

ABSTRACT

For any compact Lie group $G$ and closed, smooth Riemannian manifold $(X,g)$ of dimension $d\geq 2$, we extend a result due to Uhlenbeck (1985) that gives existence of a flat connection on a principal $G$-bundle over $X$ supporting a connection with $L^p$-small curvature, when $p>d/2$, to the case of a connection with $L^{d/2}$-small curvature. We prove an optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality for abstract Morse-Bott functions on Banach manifolds, generalizing an earlier result due to the author and Maridakis in arXiv:1510.03817. We apply this result to prove the optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality for the self-dual Yang-Mills energy function near regular anti-self-dual connections over closed Riemannian four-manifolds and for the full Yang-Mills energy function over closed Riemannian manifolds of dimension $d \geq 2$, when known to be Morse-Bott at a given Yang-Mills connection. We also prove the optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality by direct analysis near a given flat connection that is a regular point of the curvature map. We also prove the Morse-Bott property for irreducible Yang-Mills $U(n)$ connections over Riemann surfaces and hence a new proof of the optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality for such critical points.

研究の動機と目的

• バナッハ多様体上の抽象的モース–ボット関数に対して、ヘシアンがインデックスゼロのフレドホルム作用素であるという要請を課さずに、最適なŁojasiewicz–Simon勾配不等式を確立すること。
• $d \geq 2$ に対して、平坦接続の存在定理を $L^{d/2}$-曲率指数の臨界点まで拡張すること。
• 閉4次元多様体上での自己双対Yang–Millsエネルギー関数について、反自己双対接続の近傍で最適なŁojasiewicz–Simon不等式を証明すること。
• エネルギー関数がモース–ボットである場合に、平坦接続および任意のYang–Mills接続の近傍で全Yang–Millsエネルギー関数に対する最適な不等式を確立すること。
• 平坦接続におけるYang–Millsエネルギー関数のモース–ボット性を、ヘシアンがインデックスゼロのフレドホルム作用素であると仮定しないで確認すること。

提案手法

• 有限次元への還元を避けて、直接解析を用いてバナッハ多様体上の $C^2$ モース–ボット関数に対する最適なŁojasiewicz–Simon勾配不等式を導出する。
• 抽象的な不等式を閉4次元多様体上での自己双対Yang–Millsエネルギー関数に適用し、反自己双対接続の近傍で最適な不等式を証明する。
• 直接解析を用いて、平坦接続の近傍における全Yang–Millsエネルギー関数に対する最適な不等式を証明し、勾配断面の横断性によってモース–ボット構造を確立する。
• ヘシアン作用素 $\operatorname{\mathscr{Y}\!\!\mathscr{M}}^{\prime\prime}(A_{\infty}) = d_{A_{\infty}}^*d_{A_{\infty}}$ を用い、その核および像を解析することでモース–ボット条件を検証する。
• $L^2$-随伴作用素およびホッジ分解を用いて、$A_{\infty}$ が平坦で自励的（trivial isotropy）であるとき $\mathbf{H}_{A_{\infty}}^2 = \{0\}$ であることを示し、滑らかな臨界集合を示す。
• 次元2における同型写像 $\star: \Omega^p(\operatorname{ad}P) \to \Omega^{2-p}(\operatorname{ad}P)$ を用いて、コホモロジー群を関連づけ、調和形式が自明であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘシアンがインデックスゼロのフレドホルム作用素であるという仮定なしに、バナッハ多様体上のモース–ボット関数に対してŁojasiewicz–Simon勾配不等式を最適に証明できるか？
• RQ2 ウーレンベックの平坦接続の存在定理は、$d \geq 2$ に対して $L^{d/2}$-曲率指数の臨界点まで拡張可能か？
• RQ3 自己双対Yang–Millsエネルギー関数は反自己双対接続の近傍でモース–ボット的であり、最適なŁojasiewicz–Simon不等式を満たすか？
• RQ4 曲率写像 $A \mapsto F_A$ が平坦接続で正則点であるとき、全Yang–Millsエネルギー関数は平坦接続の近傍で最適なŁojasiewicz–Simon不等式を満たすか？
• RQ5 ヘシアンがインデックスゼロのフレドホルム作用素であると仮定しない場合、与えられたYang–Mills接続におけるYang–Millsエネルギー関数はモース–ボット的か？

主な発見

• 本稿は、ヘシアンがインデックスゼロのフレドホルム作用素であるという要請を課さずに、バナッハ多様体上の抽象的モース–ボット関数に対して最適なŁojasiewicz–Simon勾配不等式を証明する。
• ウーレンベックの結果を拡張し、次元 $d \geq 2$ の閉多様体上での $W^{1,d/2}$ 接続で $L^{d/2}$-曲率が小さいものに対して、平坦接続の存在を示す。
• 自己双対Yang–Millsエネルギー関数は、閉4次元多様体上での反自己双対接続の近傍で最適なŁojasiewicz–Simon不等式を満たす。
• 曲率写像 $A \mapsto F_A$ が平坦接続で正則点であるとき、全Yang–Millsエネルギー関数は平坦接続の近傍で最適なŁojasiewicz–Simon不等式を満たし、モース–ボット構造が確認される。
• 平坦接続 $A_{\infty}$ の近傍でYang–Millsエネルギー関数の臨界集合が滑らかな部分多様体であるためには、$\mathbf{H}_{A_{\infty}}^2 = \{0\}$ が成り立つ必要があるが、これは $A_{\infty}$ が自励的かつ $\dim X = 2$ のときに成立する。
• 臨界集合の $A_{\infty}$ における接空間は $T_{A_{\infty}}\operatorname{Crit}\mathscr{Y}\!\!\mathscr{M} = \ker \mathscr{Y}\!\!\mathscr{M}^{\prime\prime}(A_{\infty})$ に一致し、モース–ボット性が確認される。