[論文レビュー] Optimal lower bounds on hitting probabilities for non-linear systems of stochastic fractional heat equations

Robert C. Dalang, Fei Pu|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、空間時間白色ノイズで駆動される非線形確率的分数熱方程式系の到達確率に関する鋭い下界を確立する。マリヤン・微積分と二点移動密度関数に対する新規なガウス型上界を用いて、非ガウス型の場合の到達確率が、ニュートニアン容量を用いて測定した場合、ガウス型の場合と同程度に鋭いことが証明される。これは、古典的確率的熱方程式に関する先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

We consider a system of $d$ non-linear stochastic fractional heat equations in spatial dimension $1$ driven by multiplicative $d$-dimensional space-time white noise. We establish a sharp Gaussian-type upper bound on the two-point probability density function of $(u(s, y), u (t, x))$. From this result, we deduce optimal lower bounds on hitting probabilities of the process $\{u(t, x): (t, x) \in [0, \infty[ imes \mathbb{R}\}$ in the non-Gaussian case, in terms of Newtonian capacity, which is as sharp as that in the Gaussian case. This also improves the result in Dalang, Khoshnevisan and Nualart [ extit{Probab. Theory Related Fields} extbf{144} (2009) 371--424] for systems of classical stochastic heat equations. We also establish upper bounds on hitting probabilities of the solution in terms of Hausdorff measure.

研究の動機と目的

• 乗法的空間時間白色ノイズを伴う非線形確率的分数熱方程式系の到達確率に対する最適な下界を導出すること。
• 古典的確率的熱方程式（α=2）に関する既存の結果を、より一般的な分数型（1<α≤2）に拡張すること。
• ニュートニアン容量を容量基準として用いることで、非ガウス型領域における到達確率が、ガウス型の場合と同程度に鋭いことを確立すること。
• ダラン、コシュネビサーン、ヌアラート（2009）の先行研究を、非線形的・分数型設定においてより緊密な境界を与えることで改善すること。
• ハウスドルフ測度を用いた上界を導出し、解の値域の幾何的特徴付けを提供すること。

提案手法

• マリヤン微積分の技法を用いて、解過程 (u(s,y), u(t,x)) の二点確率密度関数に対する鋭いガウス型上界を導出する。
• マリヤン微積分の枠組みを用いて、解の分布およびその増分の正則性を分析し、特にマリヤン微分に注目する。
• ホルダー連続性およびモーメント推定に特化した、分数的放物型距離 Δα((t,x);(s,y)) = |t−s|^{(α−1)/(2α)} + |x−y|^{(α−1)/2} を用いる。
• グリーン関数 Gα(t,x) の推定と組み合わせてグロンウォールの補題を用い、マリヤン微分の成長を制御し、モーメント推定を導出する。
• 確率積分およびグリーン関数のフーリエ解析を用いて、解およびそのマリヤン微分のモーメント推定を確立する。
• 特にニュートニアン容量およびハウスドルフ測度を用いた容量論的手法を用い、解の値域の到達確率を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的空間時間白色ノイズを伴う非線形確率的分数熱方程式系の到達確率に対する最適な下界は何か？
• RQ2 これらの到達確率はガウス型の場合とどのように比較できるか。また、ニュートニアン容量を用いて特徴付け可能か？
• RQ3 非ガウス型における到達確率境界の鋭さは、容量論的手法によってガウス型の場合と同等に達成可能か？
• RQ4 分数的次数 α∈(1,2] は、解の正則性および到達行動にどのように寄与するか？
• RQ5 到達確率の上界は、解の値域のハウスドルフ測度とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、解過程 (u(s,y), u(t,x)) の二点移動密度関数に対する鋭いガウス型上界を確立する。
• この密度上界は、非ガウス型における到達確率の最適な下界を導き、ニュートニアン容量による測定においてガウス型の場合と同程度に鋭いことを示す。
• コンパクト集合 I×J 上での解の値域の到達確率は、その集合のニュートニアン容量に依存する正の定数によって下から抑えられる。
• ダラン、コシュネビサーン、ヌアラート（2009）の結果を、古典的（α=2）から分数的（1<α≤2）な確率的熱方程式に拡張することで、それらの境界を改善する。
• ハウスドルフ測度を用いた到達確率の上界が導出され、解の値域の幾何的特徴付けが得られる。
• 本稿は、解のマリヤン微分が指数 β<1−2(α+1)/(p(α−1)) のホルダー型モーメント推定を満たすことを証明し、正則性のためのコルモゴロフの連続性定理の適用を可能にする。