[論文レビュー] Optimal velocity control of a convective Cahn-Hilliard system with double obstacles and dynamic boundary conditions: a `deep quench' approach

Pierluigi Colli, Gianni Gilardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 23被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、『ディープクエンチ』アプローチを用いて、二重障害関数と動的境界条件を有する対流型カーン＝ヒリャール系における最適速度制御を研究している。変分法および正則化技術を活用することで、最適制御の存在を確立し、必要最適性条件を導出しており、速度および相変数に制約を課した相分離過程の厳密な枠組みを提供している。

ABSTRACT

In this paper, we investigate a distributed optimal control problem for a convective viscous Cahn-Hilliard system with dynamic boundary conditions. Such systems govern phase separation processes between two phases taking place in an incompressible fluid in a container and, at the same time, on the container boundary. The cost functional is of standard tracking type, while the control is exerted by the velocity of the fluid in the bulk. In this way, the coupling between the state (given by the associated order parameter and chemical potential) and control variables in the governing system of nonlinear partial differential equations is bilinear, which presents a difficulty for the analysis. In contrast to the previous paper arXiv:1709.02335 [math.AP] by the same authors, the bulk and surface free energies are of double obstacle type, which renders the state constraint nondifferentiable. It is well known that for such cases standard constraint qualifications are not satisfied so that standard methods do not apply to yield the existence of Lagrange multipliers. In this paper, we overcome this difficulty by taking advantage of results established in the quoted paper for logarithmic nonlinearities, using a so-called `deep quench approximation'. We derive results concerning the existence of optimal controls and the first-order necessary optimality conditions in terms of a variational inequality and the associated adjoint system.

研究の動機と目的

• 相変数およびその速度に制約を課した相分離をモデル化する、二重障害関数を有する対流型カーン＝ヒリャール系の最適制御を扱う。
• 相分離過程における表面効果をモデル化する動的境界条件を組み込む。
• 二重障害関数を扱えるようにするための『ディープクエンチ』アプローチを開発し、特異極限および非滑らか領域における最適制御の解析を可能にする。
• 最適制御の存在を確立し、制御問題における一次の必要最適性条件を導出する。
• 従来のカーン＝ヒリャール系の結果を、状態制御に加えて速度制御を含める形で拡張する。

提案手法

• 二重障害関数を近似するための『ディープクエンチ』正則化技術を用い、非滑らか制御問題を滑らかで解ける問題の系列に変換する。
• ヒルベルト空間枠組みにおける変分式および弱解を用いて、動的境界条件を有する結合された偏微分方程式系を扱う。
• 漸近的解析法を適用し、正則化された問題において極限をとることで、元の非滑らか問題の解を回復する。
• 正則化問題の文脈においてラグランジュ乗数法則を用いて一次最適性系を導出し、その後極限をとることで元問題の最適性系を導出する。
• 最大単調作用素および部分微分の理論を用いて、弱式において二重障害関数とその部分微分を扱う。
• コンパクト性および収束結果を確立し、正則化問題から元問題への極限移行を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速度制御下で、二重障害関数および動的境界条件を有する対流型カーン＝ヒリャール系に対して、最適制御が存在するか？
• RQ2 非滑らかな二重障害関数をどのように正則化すれば、変分的解析および最適性条件の導出が可能になるか？
• RQ3 制御問題の必要最適性条件は何か？ そして、状態変数および随伴変数とどのように関係するか？
• RQ4 『ディープクエンチ』アプローチは、動的境界条件および速度制御を有する系に対しても効果的に適用可能か？
• RQ5 正則化パラメータがゼロに近づく際の、正則化された最適制御問題の極限挙動は何か？

主な発見

• 二重障害関数および動的境界条件を有する非滑らかカーン＝ヒリャール系に対して、最適制御の存在が証明された。
• 『ディープクエンチ』アプローチは、二重障害関数を効果的に正則化し、一次最適性条件の導出を可能にした。
• 極限において、状態、随伴、制御変数を含む必要最適性系が導出された。随伴方程式には、二重障害関数の部分微分が現れる。
• 適切な仮定の下で、正則化された最適解が元の問題の解に収束することが確立された。
• この手法により、速度制御の組み込みが可能となり、従来の状態制御のみを考慮したカーン＝ヒリャール系の結果が拡張された。
• 弱式枠組みにおいて分析が行われており、物理的に妥当な非滑らか相転移モデルへの適用可能性が保証されている。