[論文レビュー] Orbifold Cohomology as Periodic Cyclic Homology

Vladimir Baranovsky|ArXiv.org|Jun 24, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、導来圏におけるG-equivariant層の圏を通じて、軌道体コホモロジーと周期的循環ホモロジーを結ぶ圏的枠組みを確立する。$X/G$ の軌道体コホモロジーが、$X$ 上の$G$-equivariant層の導来圏の周期的循環ホモロジーと同型であることを証明し、コホモロジー的クリープント解消予想に対する新たな手法を提供するとともに、軌道体積構造の圏的起源を示唆する。

ABSTRACT

It known from the work of Feigin-Tsygan, Weibel and Keller that the cohomology groups of a smooth complex variety X can be recovered from (roughly speaking) its derived category of coherent sheaves. In this paper we show that for a finite group G acting on X the same procedure applied to G-equivariant sheaves gives the orbifold cohomology of X/G. As an application, in some cases we are able to obtain simple proofs of an additive isomorphism between the orbifold cohomology of X/G and the usual cohomology of its crepant resolution (the general equality of Euler and Hodge numbers was obtained earlier by various authors). We also state some conjectures on the product structures, as well as the singular case; and a connection with recent work by Kawamata.

研究の動機と目的

• 周期的循環ホモロジーを用いた、軌道体コホモロジーの導来圏的枠組みを確立すること。
• $X/G$ の軌道体コホモロジーとクリープント解消$Y$ のコホモロジーの間の加法的同型を、新たな証明を与えること。
• 軌道体積構造を導来圏における畳み込み積と結びつけること。
• 可換層の循環ホモロジーを用いて、特異なデリーニュ＝マーフィー スタックへのこのアプローチの拡張を行うこと。

提案手法

• exact圏$\mathcal{A}$（例えば$Vect_G(X)$ や $Coh_G(X)$）に対するホモロジー理論として、周期的循環ホモロジー$HC_\bullet(\mathcal{A}, W)$ の使用。
• 有限群作用に対して、$G$-equivariant同型写像$\psi_X: HC_\bullet(Vect_G(X), W) \simeq \left(\bigoplus_{g\in G} HC_\bullet(Vect(X^g), W)\right)_G$ の構成。
• 局所化対の導来同値性における$HC_\bullet$ の不変性を活用し、$D^b(Y)$ と $D^b_G(X)$ を関連付ける。
• 固定点集合$X^g$に沿った導来押し出しと引き戻し構造を用いて、同型写像を定義する。
• 畳み込み積$\mathcal{F} * \mathcal{G} = m_* (p_1^* \mathcal{F} \otimes p_2^* \mathcal{G})$ を$Z = X \times_{[X/G]} X$ 上に定義し、軌道体積構造をモデル化する。
• 周期的循環ホモロジーの$G$-余不変構成が、ルアン理論における軌道体積構造を回復する可能性を仮説立てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的循環ホモロジーを用いて、$G$-equivariant層の導来圏から、軌道体コホモロジーを圏的に回復できるか？
• RQ2 $HC_\bullet(D^b_G(X))$ と $H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$ 間の同型が、積構造へと拡張可能か？
• RQ3 軌道体コホモロジー$H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$ の積構造が、導来圏における畳み込み積として実現可能か？
• RQ4 可換層の循環ホモロジーを用いて、この同型の特異的デリーニュ＝マーフィー スタックへの一般化は可能か？
• RQ5 導来同値$D^b(Y) \simeq D^b_G(X)$ が、$H^*(Y, \mathbb{C})$ と $H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$ 間の環同型を示唆するか？

主な発見

• 任意の有限群$G$が複素数体上の滑らかで準代数的多様体$X$に作用するとき、本稿は、$\psi_X: HC_\bullet(Vect_G(X), W) \simeq \left(\bigoplus_{g\in G} HC_\bullet(Vect(X^g), W)\right)_G$ という自然な同型写像を構成する。
• $W = \mathbb{C}[u, u^{-1}]$ のとき、周期的循環ホモロジー$HC_\bullet(Vect_G(X), W)$ は、$H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$ を次数付きベクトル空間として回復する。
• 同型写像$\psi_X$ は、$G$-equivariant写像に関して関手的であり、固定点包含写像に沿った引き戻しと整合性を保つ。
• 一部の状況では知られている$D^b(Y) \simeq D^b_G(X)$ の導来同値性は、周期的循環ホモロジー構成を通じて、$H^*(Y, \mathbb{C}) \simeq H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$ の加法的同型を示唆する。
• 本稿は、$Z = \coprod_g X^g$ 上の畳み込み積が、$H^*_{orb}(X/G, \mathbb{C})$ 上の軌道体積構造を誘導する可能性を仮説立て、ルアン理論における積構造の圏的モデルを提供する。
• 特異的$X$に対しては、$Coh_G(X)$ の循環ホモロジーを用いて軌道体コホモロジーを定義することを提案し、古典的コホモロジーに比べてより良い振る舞いを示す不変量が得られる可能性を示唆する。