[論文レビュー] Orbifold Quasimap Theory

Daewoong Cheong, Ionuţ Ciocan-Fontanine+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特異的でない lci の特異性と非特異的 $ W^{ss} $ を仮定する下で、軌道的 GIT 商 $ X = [W^{ss}/G] $ に対する安定準マップのコンパクト化されたモジュライ空間族を構成し、そのモジュライ空間が $ \varepsilon \in \mathbb{Q}_{>0} \cup \{0+, \infty\} $ の各値に対して、アフィン商の上に正確に、かつ固有なデリーニュ＝ムーディ・スタックであることを証明する。さらに、この理論の下で、$ S^\varepsilon $-作用素（準マップ理論）と $ S^\infty $-作用素（グロモフ＝ウィッテン理論）との間のウォールクロッシング公式を導出し、鏡写像を $ (0+) $-準マップ不変量の母関数として表現する。この結果として、トーリックデリーニュ＝ムーディ・スタックに対する一般化された鏡定理を確立する。

ABSTRACT

We extend to orbifolds the quasimap theory of arXiv:0908.4446 and arXiv:1106.3724, as well as the genus zero wall-crossing results from arXiv:1304.7056 and arXiv:1401.7417. As a consequence, we obtain generalizations of orbifold mirror theorems, in particular, of the mirror theorem for toric orbifolds recently proved independently by Coates, Corti, Iritani, and Tseng (arXiv:1310.4163).

研究の動機と目的

• 軌道的 GIT 商の文脈における準マップ理論の基礎的枠組みを構築し、滑らかな多様体に対する先行研究を一般化すること。
• $ S^\varepsilon $-作用素と $ S^\infty $-作用素を関連付けることで、軌道的準マップ不変量に対する genus-zero のウォールクロッシング公式を確立すること。
• 鏡写像を $ (0+) $-準マップ不変量の母関数として表現することにより、特にトーリックデリーニュ＝ムーディ・スタックに対する軌道的鏡定理を一般化すること。
• 準マップ理論の $ \mathds{I} $-関数がギベントゥル・ラグランジュ・コーン上にあることを証明することで、準マップ不変量とグロモフ＝ウィッテン理論を直接結びつけること。

提案手法

• 軌道的 GIT 商 $ X = [W^{ss}/G] $ への安定準マップのモジュライスタック族を、安定パラメータ $ \varepsilon \in \mathbb{Q}_{>0} \cup \{0+, \infty\} $ でパrameter化し、そのモジュライ空間がアフィン商の上に正確かつ固有なデリーニュ＝ムーディ・スタックであることを証明する。
• lci かつ非特異の仮定の下で、これらのモジュライ空間に完全な障害理論を構築し、仮想基本クラスおよび下降不変量の定義を可能にする。
• $ \varepsilon $-準マップ理論における $ J^\varepsilon $-関数および $ S^\varepsilon $-作用素を導入し、ウォールクロッシング公式 $ S^\varepsilon_t(\mathbbm{1}_X) = S^\infty_{\tau^\varepsilon(t)}(\mathbbm{1}_X) $ を証明する。ここで $ \tau^\varepsilon(t) $ は $ (0+) $-準マップ不変量の母関数から構成される鏡写像である。
• グラフ空間への局所化を用いて、準マップ理論の $ \mathds{I} $-関数を導出し、それがグロモフ＝ウィッテン理論のギベントゥル・ラグランジュ・コーン上にあることを示す。
• トーリックデリーニュ＝ムーディ・スタックにこの枠組みを適用し、$ \mathds{I} $-関数を明示的に計算し、小規模な $ I $-関数 $ I^{\mathrm{Giv}}(t,q,z) $ がギベントゥル・コーン上にあることを証明する。
• $ \mathds{I} $-関数を用いて、ツェングの量子レフシェッツ定理に依存しない、トーリック DM スタック内の完全交差に対する軌道的鏡定理を再証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ねじれマークイングやガーブ構造を伴う状況において、準マップ理論を軌道的 GIT 目的に一般化できるか？
• RQ2 安定準マップのモジュライ空間の構造はどのようなものか？また、それがいつ正確かつ固有なデリーニュ＝ムーディ・スタックであり、完全な障害理論を持つのか？
• RQ3 軌道的設定下で、準マップ不変量に対する genus-zero のウォールクロッシング公式を確立できるか？また、それらはグロモフ＝ウィッテン不変量とどのように関係するか？
• RQ4 軌道的グロモフ＝ウィッテン理論における鏡写像を、準マップ不変量を用いてどのように組み合わせ的に解釈できるか？
• RQ5 準マップ理論の $ \mathds{I} $-関数が、グロモフ＝ウィッテン理論のギベントゥル・ラグランジュ・コーン上にある程度はどの程度か？

主な発見

• $ W $ の特異性が至るところ lci であり、$ W^{ss} $ が非特異である限り、すべての $ \varepsilon \in \mathbb{Q}_{>0} \cup \{0+, \infty\} $ に対して、軌道的 GIT 商への安定準マップのモジュライ空間は正確かつ固有なデリーニュ＝ムーディ・スタックである。
• 準マップ理論における $ S^\varepsilon $-作用素は、ウォールクロッシング公式 $ S^\varepsilon_t(\mathbbm{1}_X) = S^\infty_{\tau^\varepsilon(t)}(\mathbbm{1}_X) $ を満たす。ここで $ \tau^\varepsilon(t) $ は $ (0+) $-準マップ不変量の母関数である。
• 準マップ理論の $ \mathds{I} $-関数は、グロモフ＝ウィッテン理論のギベントゥル・ラグランジュ・コーン上にある。これにより、2つの理論の間の直接的な関係が確立される。
• 半正のトーリック軌道的多様体に対して、小規模な $ I $-関数 $ I^{\mathrm{Giv}}(t,q,z) $ がギベントゥル・コーン上にあることが示され、鏡写像は明示的に $ t + I_1(q) = t + \sum_{i=0}^s \sum_{\beta \neq 0} q^\beta \gamma_i \langle \gamma^i, \mathbbm{1}_X \rangle_{0,2,\beta}^{0+} $ と与えられる。
• 本結果により、ツェングの量子レフシェッツ定理に依存しない、トーリック DM スタック内の完全交差に対する軌道的鏡定理の新たな証明が得られる。
• 準マップ理論の $ \mathds{I} $-関数は、等変チャーン類およびオイラー因子を用いて明示的に計算可能であり、$ 1/z $-係数には、非ねじれセクターのクラスのみが関与する。