[論文レビュー] Orthogonally spherical objects and spherical fibrations

Rina Anno, Timothy Logvinenko|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ファイバー化された多様体の導来圏における「直交的球的対象」を導入し、特徴づけ、Seidel-Thomasの球的対象を相対的設定へ一般化する。D(Z × X) 内の対象が Z 上で球的であるための必要十分条件として、元の球的対象定義に類似したコホモロジー的条件を示し、その条件を満たすのは、各ファイバーがGorensteinであり、相対 canonical バンドルが適切に振る舞うような平坦ファイブレーションの場合である。これにより、球的ねじれ関手による自己同値の幾何的基準が得られる。

ABSTRACT

We introduce a relative version of the spherical objects of Seidel and Thomas. Define an object E in the derived category D(Z x X) to be spherical over Z if the corresponding functor from D(Z) to D(X) gives rise to autoequivalences of D(Z) and D(X) in a certain natural way. Most known examples come from subschemes of X fibred over Z. This categorifies to the notion of an object of D(Z x X) orthogonal over Z. We prove that such an object is spherical over Z if and only if it has certain cohomological properties similar to those in the original definition of a spherical object. We then interpret this geometrically in the case when our objects are actual flat fibrations in X over Z.

研究の動機と目的

• Z を基底スキームとする相対的でファイブレーションに基づく設定へ、[ST01] における球的対象の概念を一般化すること。
• 元の球的対象公理に類似したコホモロジー的条件を用いて、D(Z × X) 内の「Z 上の球的対象」を定義し、特徴づけること。
• X における平坦ファイブレーション W → Z が、球的ねじれ関手を用いて D(X) の自己同値を引き起こすための幾何的基準を確立すること。
• 球的ねじれ関手が自己同値であるための必要十分条件として、核対象が基底 Z 上で直交的かつコホモロジー的条件を満たすことであることを示すこと。

提案手法

• D(Z × X) 内の相対的球的対象を、関連するFourier–Mukai関手 Φ_E : D(Z) → D(X) が球的である、すなわちそのコ-twist が自己同値であり、随伴が自然同型を満たすものとして定義する。
• スペクトル系列を用いて、D(X) 内のホモロジー複体のコホモロジーを、特に π: W → Z というファイブレーションについての RHom_X(ξ_*O_W, ξ_p^*O_{W_p}) のコホモロジーに関連付ける。
• 相対双対性定理を適用し、ω_W/X ≃ π^*L ⊗ ω_W/Z を満たす Z 上のラインバンドル L を用いて、canonical バンドルとファイブレーション構造を結びつける。
• 導来圏におけるコーンの非ファンクター性を用い、球的ねじれの核が、Fourier–Mukai核間の準同型のコーンであることを証明する。
• スペクトル系列の議論を用いて、高階コホモロジーの消滅および 0 項目と dim X − dim Z 項目のランク 1 条件が、ファイバーの連結性とGorenstein性を示すことを示す。
• 球的条件が成立するための必要十分条件として、ファイバーが連結Gorensteinスキームであり、かつ相対 canonical バンドルが ω_W/X ≃ π^*L ⊗ ω_W/Z を満たすことであることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z をパrameterとする D(X) 内の対象の族が、球的ねじれ関手を用いて D(X) の自己同値を引き起こすのはいつか？
• RQ2 D(Z × X) 内の対象 E に対して、関連するFourier–Mukai関手が Z 上で球的であるためのコホモロジー的条件は何か？
• RQ3 古典的な球的対象の概念を、基底スキーム Z 上のファイブレーションを含む相対的設定へ一般化するにはどうすればよいか？
• RQ4 平坦ファイブレーション W → Z が X 内にあるとき、構造層 ξ_*O_W が Z 上で球的であるための幾何的条件は何か？
• RQ5 D(Z × X) 内の球的ねじれ関手の核が、そのコホモロジー層の直和と quasi-isomorphic でないのはどのような場合か？

主な発見

• D(Z × X) 内の対象 E が Z 上で球的であるための必要十分条件は、そのコ-twist FE が D(Z) の自己同値であり、自然変換 Φ_E^radj → FE ∘ Φ_E^ladj [1] が同型であることである。
• W ⊂ X で、平坦ファイブレーション π: W → Z に対して、構造層 ξ_*O_W が Z 上で球的であるための必要十分条件は、すべてのファイバー W_p が連結Gorensteinスキームであり、かつ ω_W/X ≃ π^*L ⊗ ω_W/Z を満たす L ∈ Pic(Z) が存在することである。
• 複体 RHom_X(ξ_*O_W, ξ_p^*O_{W_p}) のコホモロジーは k ⊕ k[−(dim X − dim Z)] に同型であり、これによりファイバーの連結性と適切な双対性の振る舞いが示される。
• 核がファイブレーションの構造層でない直交的球的対象である場合、球的ねじれ関手の核は、そのコホモロジー層の直和と quasi-isomorphic でない。これは、D_2n 内の S_2n の例で示されている。
• 相対的球的条件は、すべてのコホモロジー群が 0 項目と dim X − dim Z 項目を除いて消え、その両方でランク 1 であることと同値である。
• グロテンディーク–スプリンガー解体の例では、関手 S_2n : D_2n−2 → D_2n は R ∘ S_1 または R^{−1} ∘ S_{2n−1} と同型であり、その核は直交的球的だがファイブレーションの構造層ではない。これにより、このような対象が必ずしもファイブレーションでないことが示された。