[論文レビュー] Hypergeometric functions and mirror symmetry in toric varieties

R. Paul Horja|ArXiv.org|Dec 14, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用数 104

ひとこと要約

本稿は、トーリック多様体内のカルラビ–ヤウ完交差のコhomology上のモノドロミー作用と、その鏡対称対象の両立された層の導来カテゴリ−上のフーリエ–ムカイ関手の間の幾何的対応を確立する。ゲルファンド–カプラノフ–ツェレヴィン超幾何系と鏡対称性の道具立てを用いて、$\mathbf{D}(W \times W)$ 内の明示的なカーネルを構成し、$M$ の複素構造モジュライ空間における特異性超曲面の成分回りのモノドロミー作用を再現する。これは、トーリック設定におけるコンツェビッチの提案による自己同型群の同定を実現するものである。

ABSTRACT

We study aspects related to Kontsevich's homological mirror symmetry conjecture in the case of Calabi-Yau complete intersections in toric varieties. In a 1996 lecture at Rutgers University, Kontsevich indicated how his proposal implies that the groups of automorphisms of the two types of categories involved in the homological mirror symmetry conjecture should also be identified. Our main results provide an explicit geometric construction of the correspondence between the automorphisms of the two types of categories.

研究の動機と目的

• フォーカビおよび導来カテゴリの自己同型群が鏡対称性の下で同定されることを実現すること。
• コhomology上の作用が $H^*(M, \mathbb{C})$ のモノドロミーと一致する $\mathbf{D}(W \times W)$ 内の幾何的カーネルを構成すること。
• 1および2パラメータのトーリックカルラビ–ヤウ完交差の状況において、シンプレクティックモノドロミーと代数的自己同型の完全な辞書を提供すること。
• 鏡対称モジュライ空間における相転移と、両立された層の導来カテゴリ上のフーリエ–ムカイ関手の作用との間の対応を確立すること。

提案手法

• 鏡対称カルラビ–ヤウ多様体 $M$ の周期を記述するためにゲルファンド–カプラノフ–ツェレヴィン（GKZ）超幾何系を用いる。
• GKZ系の解を用いた超幾何関数および経路積分の道具立てを適用し、コhomology上のモノドロミー作用を計算する。
• 二次多面体の辺に対応する、$\mathbf{D}(W \times W)$ 内の明示的な複体 $\mathcal{E}^\bullet(F)$ を構成し、相転移に対応させる。
• フォーリエ–ムカイ変換形式 $\Phi_{\mathcal{E}^\bullet}(\cdot) = \mathbf{R}p_{2*}(\mathcal{E}^\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes} p_1^*(\cdot))$ を用いて、$\mathbf{D}(W)$ の自己同型を定義する。
• 超幾何級数 $\Psi(z)$ の解析接続を、経路積分および留数計算を通じてモノドロミー作用に一致させる。
• 系列 $\Phi^\mathcal{C}_\lambda(z)$ と $\Psi(z)$ の双対性を、$1 - e^{2\pi i \cdot}$ を含む因子を通じて関係づけ、コhomology上の作用を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルラビ–ヤウ多様体 $M$ のコhomology上のモノドロミー作用は、その鏡 $W$ 上の導来カテゴリ自己同型を用いてどのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 複素構造モジュライ空間における $M$ のループと、$\mathbf{D}(W)$ 上のフーリエ–ムカイ関手との間の明確な対応は何か？
• RQ3 トーリック設定において、明示的なカーネル構成を通じて、フォーカビカテゴリと導来カテゴリの自己同型群を同定できるか？
• RQ4 鏡対称モジュライ空間における相転移は、$W$ 上の両立された層の導来カテゴリの代数的自己同型とどのように対応するか？
• RQ5 超幾何系は、シンプレクティック自己同型と代数的自己同型の間の鏡対称性対応をどのように符号化するか？

主な発見

• 複素構造モジュライ空間における特異性超曲面の成分回りのループによって誘発される $H^*(M, \mathbb{C})$ 上のモノドロミー作用は、$\mathbf{D}(W)$ 上のフーリエ–ムカイ関手 $\Phi_{\mathcal{E}^\bullet(F)}$ の作用によって幾何的に実現される。
• 鏡 $W$ の滑らかな相に対応する二次多面体の辺 $F$ ごとに、カーネル $\mathcal{E}^\bullet(F)$ は $H^*(W, \mathbb{C})$ 上の自己同型を誘発し、これは $H^*(M, \mathbb{C})$ 上のモノドロミー作用と一致する。
• フーリエ–ムカイ関手のコhomology的作用は、$1 - e^{-2\pi i \cdot}$ 項の積を含む経路積分表現によって計算され、超幾何解のモノドロミー公式と一致する。
• $\Psi(z)$ 級数は、$1 - e^{2\pi i(d_j\mu - \mu_j')} / 2\pi i$ を含む因子によって $\Phi^\mathcal{C}_\lambda(z)$ と関係づけられ、$M$ のすべての周期を符号化しており、そのモノドロミーは解析接続によって計算される。
• 本研究は、トーリックカルラビ–ヤウ完交差の1パラメータ系および特定の2パラメータ系において、シンプレクティックモノドロミーと代数的自己同型の完全な辞書を提供する。
• 本結果は、1996年にコンツェビッチが提起した提案を、超幾何系およびトーリック幾何を用いて明示的な対応を構築することで実現する。