[論文レビュー] Outliers in INAR(1) models

Mátyás Barczy, Márton Ispány+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2009

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 53被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、加法的外れ値またはイノベーション外れ値によって汚染される1次整数値分散自己回帰モデル（INAR(1)）を調査する。条件付き最小二乗法（CLS）推定量について、子の平均およびイノベーションの平均に関しては強大数法則に従い、漸近的に正規分布に従うことが示された。一方、外れ値の大きさのCLS推定量は、真の値に収束せず、外れ値時におけるプロセスの値に依存する確率的極限に収束する。

ABSTRACT

In this paper the integer-valued autoregressive model of order one, contaminated with additive or innovational outliers is studied in some detail. Moreover, parameter estimation is also addressed. Supposing that the time points of the outliers are known but their sizes are unknown, we prove that the Conditional Least Squares (CLS) estimators of the offspring and innovation means are strongly consistent. In contrast, however, the CLS estimators of the outliers' sizes are not strongly consistent, although they converge to a random limit with probability 1. This random limit depends on the values of the process at the outliers' time points and on the values at the preceding time points and in case of additive outliers also on the values at the following time points. We also prove that the joint CLS estimator of the offspring and innovation means is asymptotically normal. Conditionally on the above described values of the process, the joint CLS estimator of the sizes of the outliers is also asymptotically normal.

研究の動機と目的

• 加法的およびイノベーション外れ値がINAR(1)時系列モデルに与える影響を調査すること。
• 外れ値による汚染下における条件付き最小二乗法（CLS）推定量の漸近的性質を検討すること。
• 外れ値の大きさのCLS推定量が一貫しているか、それとも確率的極限に収束するかを特定すること。
• 外れ値のタイミングが既知である場合に、モデルパラメータおよび外れ値の大きさのCLS推定量の同時漸近正規性を導出すること。
• 離散的時系列データにおける異常観測を伴うロバスト推論の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 薄め作用素と独立なイノベーションを用いて、加法的またはイノベーション外れ値を含むINAR(1)プロセスをモデル化する。
• 外れ値のタイミングは既知であるが、その大きさは未知であるという仮定の下で、条件付き最小二乗法（CLS）推定を適用する。
• マルティングール極限定理および関数的中心極限定理を用いて、漸近的分布を導出する。
• 外れ値時およびその周辺におけるプロセスの値を条件として、CLS推定量の極限分布を導出する。
• モーメント生成関数および特性関数を用いて、潜在プロセスの分布的性質を分析する。
• エルゴディシティおよび大数法則を用いて、子の平均およびイノベーションの平均のCLS推定量の強大数法則を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 INAR(1)プロセスが外れ値によって汚染された場合、子の平均およびイノベーションの平均のCLS推定量は一貫しているか？
• RQ2 外れ値の大きさのCLS推定量は真の値に収束するのか、それとも確率的極限に収束するのか？
• RQ3 モデルパラメータおよび外れ値の大きさの同時CLS推定量の漸近的分布は何か？
• RQ4 外れ値時およびその周辺におけるプロセスの値は、外れ値の大きさの推定量の極限的挙動にどのように影響するか？
• RQ5 外れ値による汚染下において、モデルパラメータの同時CLS推定量は漸近的に正規分布に従うか？

主な発見

• 外れ値による汚染下において、子の平均およびイノベーションの平均のCLS推定量は強大数法則に従う。
• 外れ値の大きさのCLS推定量は真の値に収束せず、外れ値時およびその周辺におけるプロセスの値に依存する確率的極限に収束する。
• 子の平均およびイノベーションの平均の同時CLS推定量は漸近的に正規分布に従う。
• 外れ値時およびその周辺におけるプロセスの値を条件として、外れ値の大きさの同時CLS推定量は漸近的に正規分布に従う。
• 外れ値の大きさの推定量の極限分布は、外れ値時におけるプロセスの値、直前の時刻の値、および加法的外れ値の場合は直後の時刻の値に依存する。
• 同時推定量の漸近正規性を保証するためには、イノベーション分布の3次モーメントが必要であり、これにより分散と高次モーメントの有限性が保証される。