[論文レビュー] Outline of the proof of the geometric Langlands conjecture for GL(2)

Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、GL(2)に対するカテゴリカル幾何Langlands予想を、拡張されたWhittakerカテゴリと局所系上のスペクトル側のind-自己同型層の2つの予想に還元する戦略を提示する。主な貢献は、Eisenstein級数関手がコンパクト性を保存しないという問題を、修正されたスペクトル側カテゴリの導入により解決する枠組みを提供することであり、これにより拡張されたWhittaker係数とグルーピング関手を通じて完全忠実な比較が可能になる。

ABSTRACT

We outline a proof of the categorical geometric Langlands conjecture for GL(2), as formulated in reference [AG], modulo a number of more tractable statements that we call Quasi-Theorems.

研究の動機と目的

• GL(2)の幾何Langlands予想を、拡張されたWhittakerカテゴリを含む1つの予想と、スペクトル側の局所系上のind-自己同型層に関するもう1つの予想に還元すること。
• スペクトル側のEisenstein級数関手がコンパクト性を保存しない問題を、ind-自己同型層の修正されたカテゴリの導入により解決すること。
• グルーピング構成と拡張されたWhittaker係数を通じて、自動的側とスペクトル側の完全忠実な比較を確立すること。
• 自動的側の正規化カテゴリが、非可約局所系を介してスペクトル側から商として得られることを示すこと。
• 予想される幾何Langlands同型が、Eisenstein級数、Hecke関手、Kac-Moody局所化と両立することを示すこと。

提案手法

• 拡張されたWhittaker係数関手を介して、自動的側を拡張されたWhittakerカテゴリに埋め込むこと（予想として完全忠実）。
• 極小特異値を持つind-自己同型層に基づくグルーピング構成を用いて、スペクトル側をGlue(Ǧ)specと表記されるカテゴリに埋め込むこと。
• 関手Glue(CT^enh_spec)を用い、修正されたスペクトル側をGlue(Ǧ)_specに関連づける。これは定理9.3.8により完全忠実である。
• Glue(Ǧ)_specから拡張されたWhittakerカテゴリへの自然な完全忠実関手L_G,G^Whit^extを構成し、比較を可能にする。
• 随伴と直交性を用いて、正規化カテゴリが拡張されたWhittaker関手のもとで消えることを示し、コクレーム写像の消滅を証明する。
• 予想の相互依存性を用いて、予想8.2.9と10.2.8が主予想（予想3.4.2）から導かれる（その妥当性を仮定して）ことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何Langlands枠組み内において、スペクトル側のEisenstein級数関手がコンパクト性を保存しないという問題は、どのように解決できるか？
• RQ2 自動的Eisenstein関手と両立するように保証するための、QCoh(LocSys_Ǧ)の適切な置き換えは何か？
• RQ3 共通のより取り扱いやすいカテゴリ（例えば拡張されたWhittakerカテゴリ）に埋め込まれたカテゴリの比較によって、幾何Langlands同型を確立できるか？
• RQ4 正規化自動的カテゴリと非可約局所系のスペクトルカテゴリとの正確な関係は何か？
• RQ5 Kac-Moody表現カテゴリは、幾何Langlands対応下で自動的カテゴリとどのように関係するか？

主な発見

• スペクトル側は、QCoh(LocSys_Ǧ)をIndCoh_Nilp^glob_Ǧ(LocSys_Ǧ)に置き換えることで修正され、Eisenstein級数関手のコンパクト性の問題が解消される。
• 拡張されたWhittaker係数関手coeff^ext_{G,G}は完全忠実であると予想され、D-mod(Bun_G)が拡張されたWhittakerカテゴリに埋め込まれる。
• 関手Glue(CT^enh_spec)は完全忠実であり、修正されたスペクトル側がGlue(Ǧ)_specに埋め込まれる（定理9.3.8による）。
• 正規化カテゴリは、Conjecture 3.4.2のもとで、j_*とΞ_Ǧの合成を通じてQCoh(LocSys_Ǧ^irred)の像として特定される。
• 自動的正規化カテゴリがQCoh(LocSys_Ǧ^irred) ⊗_QCoh(LocSys_Ǧ) D-mod(Bun_G)に同型であることが示され、重要な双対構造が確認される。
• 予想10.5.10を仮定すると、局所化関手Loc_Gは、tempered自動的カテゴリのホモトピー圏をKac-MoodyカテゴリKL(G,κ)_Ran(X)のヴェルディエ・商に同定する。