[論文レビュー] Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of high-dimensional semilinear elliptic partial differential equations

Christian Beck, Lukas Gonon+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 59被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、リプシッツ非線形性を有する高次元半線形楕円型偏微分方程式（PDE）に対して、完全履歴を再帰的に用いる多層型ピカード（MLP）近似スキームの新規導入と分析を行う。計算コストが所望の精度 $\varepsilon$ に対して、次元 $d$ および $\varepsilon^{-1}$ の両方において多項式的にしか増加しないことを証明し、この文脈で初めて次元の呪いを克服することを示した。

ABSTRACT

Recently, so-called full-history recursive multilevel Picard (MLP) approximation schemes have been introduced and shown to overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of semilinear parabolic partial differential equations (PDEs) with Lipschitz nonlinearities. The key contribution of this article is to introduce and analyze a new variant of MLP approximation schemes for certain semilinear elliptic PDEs with Lipschitz nonlinearities and to prove that the proposed approximation schemes overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of such semilinear elliptic PDEs.

研究の動機と目的

• 高次元半線形楕円型PDEにおいて次元の呪いを克服する厳密な手法の不足に応えること。
• 従来、放物型PDEにのみ適用されてきた成功したMLPフレームワークを、リプシッツ非線形性を有する楕円型PDEに拡張すること。
• このような楕円型PDEの数値近似が次元に伴い指数的コスト増を示さずに、実際に効率的に計算可能であることを理論的に確立すること。
• 楕円型設定における提案されたMLPスキームについて、完全な誤差および複雑性解析を提供すること。

提案手法

• 解の確率的表現を、フェインマン＝カックの公式から導出された確率的不動点方程式（SFPE）を用いて実現する。
• ブラウン運動経路上の期待値を段階的に精緻化することで解を近似する、再帰的多層型ピカード反復を導入する。
• 各レベルで独立したモンテカルロサンプルを得るために、独立同分布のブラウン運動および独立同分布の停止時刻 $R^\theta$ を用いる。
• 近似解 $U^{d,\theta}_n(x)$ を、線形項と非線形項を完全履歴再帰構造で組み合わせることで再帰的に計算する。
• 次元 $d$ に応じてスケーリングされる線形作用素 $B_d$ を導入し、解の次元依存性の増大を抑制する。
• 関数評価回数の再帰的上限 $\mathfrak{C}_{d,n}$ を用いて複雑性を解析し、$d$ および $\varepsilon^{-1}$ に対して多項式的に増加することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラボリックPDEに有効なMLP近似スキームを、半線形楕円型PDEに拡張可能か？
• RQ2 提案された楕円型PDE用MLPスキームは、次元の呪いを回避するか？
• RQ3 計算コストが次元 $d$ および所望の精度 $\varepsilon$ にどのように依存するか？
• RQ4 非線形性および拡散作用素に対する仮定が収束性および複雑性に与える影響は何か？

主な発見

• 精度 $\varepsilon$ を達成するための計算コストが、次元 $d$ および逆精度 $\varepsilon^{-1}$ の両方において、多項式的増加にとどまることを示し、次元の呪いが存在しないことを証明した。
• 領域 $[-cd^c, cd^c]^d$ における $L^2$-ノルムの誤差が $\varepsilon$ 以下に抑えられ、$d$ に一様に成り立つ。
• 複雑性上限 $\mathfrak{C}_{d,\mathfrak{N}_{\varepsilon,d}}$ が、ある $\kappa > 0$ に対して $\kappa d^\kappa \varepsilon^{-\kappa}$ 以下に抑えられることを示し、多項式的増加を示した。
• 非線形性 $f_d$ および拡散作用素 $B_d$ に対してきわめて弱い仮定のもとで、スキームが適切に定義され、可積分であることが解析で確立された。
• ブランチング拡散法とは異なり、時間ホライズンにかかわらず、すべての時間ホライズンおよび次元で収束を達成した。
• 理論的枠組みにより、非線形性がリプシッツ的であっても、かつ定義域が $d$ と共に拡大しても、MLPスキームが次元増大に対してロバストであることが確認された。