[論文レビュー] Pólya-Vinogradov and the least quadratic nonresidue

Jonathan Bober, Leo Goldmakher|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、長期間の文字和推定と最小二次非剰剰剰数の境界との間で、新しい関係を確立している。偶数の文字に対してポlya–ヴィノグラドフ不等式の改善が、奇数の文字に対する最小非剰剰剰数のより強い境界を直接示すことを示すことにより、バーガスの古典的指数を改善するための新しい道筋を開く。条件付き結果では、長期間の文字和に関する予想の下で $ n_p \ll (\log p)^{1.4} $ が得られる。

ABSTRACT

It is well-known that cancellation in short character sums (e.g. Burgess' estimates) yields bounds on the least quadratic nonresidue. Scant progress has been made on short character sums since Burgess' work, so it is desirable to find a new approach to nonresidues. The goal of this note is to demonstrate a new line of attack via long character sums, a currently active area of research. Among other results, we demonstrate that improving the constant in the Pólya-Vinogradov inequality would lead to significant progress on nonresidues. Moreover, conditionally on a conjecture on long character sums, we show that the least nonresidue for any odd primitive character (mod $k$) is bounded by $(\log k)^{1.4}$.

研究の動機と目的

• 長期間の文字和推定と最小二次非剰剰剰数の境界との間の新しい関係を確立すること。
• 偶数の文字に対するポlya–ヴィノグラドフ不等式の改善が、奇数の文字に対する最小非剰剰剰数のより強い境界をもたらすことを示すこと。
• 長期間の文字和理論の最近の進展が、長年の最小二次非剰剰剰数の境界問題に与える影響を調査すること。
• 長期間の文字和に関する予想の下で、条件付き境界 $ n_\xi \ll (\log k)^{1.4} $ を考察すること。
• この手法の限界と、$ L(1,\xi) $ の大きさおよび一般化リーマン予想との関係を検討すること。

提案手法

• 論文は、文字 $ \chi $ の最大部分和 $ M(\chi) $ と奇数の文字 $ \xi $ の最小非剰剰剰数 $ n_\xi $ の間の関係を、ポlya–ヴィノグラドフ不等式を出発点として用いる。
• 奇数の文字 $ \xi \mod k $ から、偶数の文字 $ \chi \mod 3k $ を構成し、和 $ \sum_{n \leq y^\alpha} \frac{\xi(n)}{n} $ を用いて $ M(\chi) $ の下界を導出する。
• ドゥイックマン–ド・ブリュイーン関数 $ \rho(u) $ を用いて、滑らかな整数の分布をモデル化し、$ \xi(n)/n $ の部分和を推定する。この際、$ \xi(n) = 1 $ と仮定して $ y $-滑らかな整数上で考える。
• 恒等式 $ \left| \sum_{n \leq y^\alpha} \frac{\xi(n)}{n} \right| \geq \sum_{n \leq y^\alpha} \frac{1}{n} - 2 \sum_{P^+(n) > y} \frac{1}{n} $ を用いて、和の下界を評価し、互いに素であることと滑らかさの条件に依存する。
• 主な不等式 $ M(\chi) \gtrsim \frac{\sqrt{k}}{\pi} (-2\alpha \log \alpha + 3\alpha - 2) \log y $ は $ \alpha = \sqrt{e} $ で最大化され、これが主結果に至る。
• 予想的議論として、予想的特徴的理論と滑らかな整数の分布に基づき、$ \log n_\xi \lesssim \left( \frac{\pi}{e^\gamma} \right) \frac{M(\chi)}{\sqrt{k}} $ という予想が導かれる。この予想の下で $ n_\xi \ll (\log k)^{1+o(1)} $ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数の文字に対するポlya–ヴィノグラドフ不等式の改善が、奇数の文字に対する最小二次非剰剰剰数の境界を改善することができるか？
• RQ2 偶数の文字の最大部分和 $ M(\chi) $ と奇数の文字の最小非剰剰剰数 $ n_\xi $ の間の定量的関係は何か？
• RQ3 特にグランヴィル–サウンドラジャハン予想の下で、長期間の文字和理論が既知の最小非剰剰剰数の境界をどの程度改善できるか？
• RQ4 バーガスの指数 $ \frac{1}{4\sqrt{e}} $ よりも良い条件付き境界 $ n_\xi $ が存在するか。その強さは何か？
• RQ5 $ L(1,\xi) $ の大きさは、最小非剰剰剰数と関連した偶数の文字の最大部分和 $ M(\chi) $ とどのように関係するか？

主な発見

• 偶数の文字に対するポlya–ヴィノグラドフ不等式の定数の改善は、直接的に最小二次非剰剰剰数 $ n_p $ のバーガス指数 $ \frac{1}{4\sqrt{e}} $ の改善をもたらす。特に $ p \equiv 3 \pmod{4} $ の素数に対して顕著である。
• すべての偶数の原始的文字 $ \chi \mod q $ に対して $ M(\chi) \leq \left( \frac{e^\gamma}{\pi\sqrt{3}} + o(1) \right) \sqrt{q} \log \log q $ という予想の下で、論文は $ n_\xi \ll (\log k)^{c+o(1)} $ と示し、$ c \approx 1.37 $ となる。これは、GRHの下でアンケニーの $ \ll (\log p)^2 $ の境界を上回る。
• 同じ予想の下で、条件付きで $ n_\xi \ll (\log k)^{1.4} $ が達成され、これは現在の最先端の強化を示している。
• 論文は、すべての偶数の文字 $ \chi \mod q $ に対して $ M(\chi) = o(\sqrt{q} \log q) $ ならば $ n_\xi \ll k^{o(1)} $ が成り立つことを示しており、これは対数より小さい境界への道筋を示唆している。
• この手法は、最小非剰剰剰数の最大サイズが、$ L(1,\xi) $ の最大サイズと深く関連していることを示しており、$ n_\xi $ が大きいとき、$ L(1,\xi) $ もおそらく大きいと考えられる。
• 論文は、任意の原始的偶数文字 $ \chi \mod q $ に対して、$ n_\chi \leq \exp((\log q)^{5/6+\epsilon}) $ または $ M(\chi) \leq \sqrt{q} (\log q)^{2/3+\epsilon} $ のいずれかが成り立つことを証明しており、両方の量のうち少なくとも一方が小さいことが示された。