[論文レビュー] $p$-Operator space structure on Feichtinger--Fig\`{a}-Talamanca--Herz Segal algebras

Serap Öztop, Nico Spronk|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所コンpakto群 $G$ の Figà-Talamanca–Herz 代数 $A^p(G)$ の最小セガル代数である Feichtinger–Figà-Talamanca–Herz セガル代数 $S^p_0(G)$ に $p$-作用素空間構造を導入する。この構造が弱く完全有界写像を介して自然であることを示し、射影的テンソル積、部分群への制限、正規部分群への平均化といった函子的性質を証明する。主たる貢献は、アメーブルな群 $G$ および $H$ に対して、弱く完全等長テンソル積の公式 $S^p_0(G) \hat{\otimes}_p S^p_0(H) \cong S^p_0(G \times H)$ を得ることであり、$p=2$ の場合の古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

We consider the minimal boundedly-translation-invariant Segal algebra $S_0^p(G)$ in the Fig\`{a}-Talamanca--Herz algebra $A_p(G)$ of a locally compact group $G$. In the case that $p=2$ and $G$ is abelian this is the classical Segal algebra of Feichtinger. Hence we call this the Feichtinger--Fig\`{a}-Talamanca--Herz Segal algebra of $G$. Remarkably, this space is also a Segal algebra in $L^1(G)$ and is, in fact, the minimal such algebra which is closed under pointwise multiplication by $\apg$. Even for $p=2$, this result is new for non-abelian $G$. We place a $p$-operator space structure on $S_0^p(G)$, and demonstrate the naturality of this by showing that it satisfies all natural functiorial properties: projective tensor products, restriction to subgroups and averaging over normal subgroups. However, due to complications arising within the theory of $p$-operator spaces, we are forced to work with weakly completely bounded maps in many of our results.

研究の動機と目的

• 任意の局所コンパクト群 $G$ に対して、Figà-Talamanca–Herz 代数 $A^p(G)$ の最小セガル代数 $S^p_0(G)$ に自然な $p$-作用素空間構造を定義すること。
• この構造が射影的テンソル積、部分群への制限、正規部分群への平均化といった主要な函手的性質を満たすことを示すこと。
• 標準的埋め込み $V \to V^{**}$ が完全等長でないという $p$-作用素空間理論における技術的課題を、弱く完全有界写像を導入することで解決すること。
• $S^p_0(G)$ が $L^1(G)$ の中で $A^p(G)$ の元による点ごとの乗法に関して閉じた最小セガル代数であることを示すこと。この結果は $p=2$ および非アーベル $G$ に対しても新規である。
• Daws [5] の $p=2$ 時の作用素空間枠組みを、$1 < p < \infty$ の一般の場合に、弱く完全有界写像の洗練された理論を用いて拡張すること。

提案手法

• $S^p_0(G) = A^p(G)_{\min}$ を $A^p(G)$ の最小セガル代数として定義し、$p=2$ およびアーベル群 $G$ の場合の Feichtinger の古典的 $S_0(G)$ を一般化する。
• Daws [5] の $p$-作用素空間理論を採用し、標準的 $p$-作用素空間枠組みの制限を克服するため、弱く完全有界写像を組み込む。
• $N^p(G) = L^{p'}(G)^r \hat{\otimes}_p L^p(G)^c$ の同一視を用いて、$S^p_0(G)$ の元を行と列の作用素空間の射影的テンソル積の元として表現する。
• コンパクト台付き $L^p$-関数の構造を用いて、商写像 $Q'_{Mp(K)}: L^1(G) \hat{\otimes}_p M_p(K) \to S^p_0(G)$ が弱く完全な全射であることを証明する。
• 商写像とテンソル積を含む可換図式を構築し、写像 $\tau_N: M_p(K) \to A^p(G/N)$ が弱く完全な収縮写像であることを示すことで、制限および平均化の定理の構成を可能にする。
• アメーブルな $G$ および $H$ に対して、弱く完全等長テンソル積の公式 $S^p_0(G) \hat{\otimes}_p S^p_0(H) \cong S^p_0(G \times H)$ を、弱く完全な商写像および $N^p(G)$ の構造を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $1 < p < \infty$ および任意の局所コンパクト群 $G$ に対して、$A^p(G)$ の最小セガル代数 $S^p_0(G)$ に自然な $p$-作用素空間構造を定義できるか？
• RQ2 $p$-作用素空間理論における標準的埋め込み $V \to V^{**}$ が完全等長でないという問題を、函手的性質を保つためにどのように解決できるか？
• RQ3 $p \neq q$ のとき、$S^p_0(G) \subset S^q_0(G)$ の包含写像が弱く完全有界であるか、特に $L^p$-に基づく作用素空間構造の文脈でどうか？
• RQ4 $G$ がアーベルであるとき、フーリエ変換は $S^p_0(G)$ の内在的構造を保存するか？また、$p \neq 2$ の場合に $F(S^p_0(G))$ を $A^2(\hat{G})$ 内でどのように特徴づけられるか？
• RQ5 $S^p_0(G)$ の函手的性質（部分群への制限、正規部分群への平均化など）を弱く完全有界写像を用いて確立できるか？

主な発見

• $S^p_0(G)$ は $L^1(G)$ の中で $A^p(G)$ の元による点ごとの乗法に関して閉じた最小セガル代数であり、定理 2.7 で示され、$p=2$ および非アーベル $G$ に対しても新規な結果である。
• $S^p_0(G)$ における $p$-作用素空間構造は、弱く完全有界写像を介して自然に定義され、部分群への制限や正規部分群への平均化といった函手的性質の回復を可能にする。
• アメーブルな群 $G$ および $H$ に対して、射影的テンソル積の公式 $S^p_0(G) \hat{\otimes}_p S^p_0(H) \cong S^p_0(G \times H)$ が弱く完全等長的に成り立つ。これは [29] の $p=2$ 時の結果を拡張する。
• 商写像 $Q'_{Mp(K)}: L^1(G) \hat{\otimes}_p M_p(K) \to S^p_0(G)$ は弱く完全な全射であり、作用素空間構造を構成するための重要な技術的道具を提供する。
• 写像 $\tau_N: M_p(K) \to A^p(G/N)$ は弱く完全な収縮写像であり、これにより $\tau_N(M_p(K)) \subset A^p(G/N)$ 上に弱く収縮的 $p$-作用素セガル理想構造を構成できる。
• $p \neq q$ のとき、包含写像 $S^p_0(G) \subset S^q_0(G)$ は有界であり、特定の条件下では弱く完全有界である可能性がある。これは $p \neq 2$ における双対性枠組みの拡張の可能性を示唆する。