[論文レビュー] Parametric Furstenberg Theorem on Random Products of $SL(2, \mathbb{R})$ matrices

Anton Gorodetski, Victor Kleptsyn|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 54被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$SL(2,\mathbb{R})$ 行列の確率的積についてのフルステンベルクの定理のパrametric版を確立し、単調なパrameter依存性のもとで、上位リャプノフ指数がすべてのパrameterで正であることを証明している（フルステンベルクの定理による）。一方、下位リャプノフ指数は、ハウスドルフ次元が0である稠密な$G_\delta$集合で消える。この手法により、確率的ポテンシャルを伴う1次元シュレーディンガー作用素におけるスペクトル・アンドリューズ局在の幾何的証明が得られる。

ABSTRACT

We consider random products of $SL(2, \mathbb{R})$ matrices that depend on a parameter in a non-uniformly hyperbolic regime. We show that if the dependence on the parameter is monotone then almost surely the random product has upper (limsup) Lyapunov exponent that is equal to the value prescribed by the Furstenberg Theorem (and hence positive) for all parameters, but the lower (liminf) Lyapunov exponent is equal to zero for a dense $G_δ$ set of parameters of zero Hausdorff dimension. As a byproduct of our methods, we provide a purely geometrical proof of Spectral Anderson Localization for discrete Schrödinger operators with random potentials (including the Anderson-Bernoulli model) on a one dimensional lattice.

研究の動機と目的

• SL(2,\mathbb{R})$ の設定における確率的行列積に関するフルステンベルクの定理のパrametric拡張を確立すること。
• 単調な依存性の下で、パrameterの関数としての上位および下位リャプノフ指数の振る舞いを分析すること。
• 上位指数が常に正である一方で、下位リャプノフ指数がゼロとなるパrameterの集合が、ハウスドルフ次元が0の稠密な$G_\delta$集合であることを証明すること。
• この手法を応用し、1次元格子上の離散シュレーディンガー作用素に対する、完全に幾何的なアプローチによるスペクトル・アンドリューズ局在の証明を提供すること。

提案手法

• パrameter $\alpha$ に単調に依存する行列を含む確率的行列積の分析。
• 円周写像のリフトと反復コサイクルを用いた幾何的議論により、行列積の成長を制御すること。
• 実数直線上での転送行列の反復作用に関する、新規の帰納的議論を用い、歪みと軌道の分離を追跡すること。
• 下位指数がゼロにならないことを示すために、差分 $\tilde{G}_{\alpha,n,\omega}(x) - \tilde{G}_{-\alpha,n,\omega}(x)$ に対する下界を確立すること。
• $SL(2,\mathbb{R})$ コサイクルの構造と円周上の射影的作用の力学を活用し、一様な推定を導出すること。
• フルステンベルクの元々の定理により、上位リャプノフ指数がすべてのパrameterで保存されることを用い、下位指数は残渣的集合の議論によりゼロであることが示されること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調なパrameter族における $SL(2,\mathbb{R})$ 行列積において、上位リャプノフ指数がすべてのパrameterで正に保たれるか？
• RQ2 下位リャプノフ指数がゼロとなるパrameterの集合の構造はいかなるものか？
• RQ3 パrametricなフルステンベルクの定理を用いて、確率的シュレーディンガー作用素におけるスペクトル局在を確立できるか？
• RQ4 確率的またはスペクトル理論的道具を避ける幾何的証明が、アンドリューズ局在に対して存在するか？
• RQ5 パrameterにおける単調性が、確率的行列積のリャプノフスペクトルに与える影響は何か？

主な発見

• 区間内のすべてのパrameterにおいて、上位（limsup）リャプノフ指数はフルステンベルクの値 $\lambda_F > 0$ に等しく、フルステンベルクの定理により保証される。
• 下位（liminf）リャプノフ指数は、ハウスドルフ次元が0である稠密な$G_\delta$パrameter集合でゼロである。
• 開発された幾何的手法により、1次元アンドリューズ・ベルヌーイモデルおよびより一般の確率的ポテンシャルを伴う場合のスペクトル・アンドリューズ局在の完全な幾何的証明が可能である。
• コサイクル作用における軌道の分離の均一な下界を構築することに依存し、歪み推定と$\mathbb{R}$ 上のリフト力学を用いる。
• 上位および下位リャプノフ指数の間の鋭い対比が、上位指数が連続的かつ正であっても、パrametric族において顕著に現れることを示している。
• この手法は有限の確率的積にも適用可能であり、重要な技術的推定が得られる：十分大きな $n$ に対して $\tilde{G}_{\alpha,n,\omega}(x_v) - \tilde{G}_{-\alpha,n,\omega}(x_v) > 1$ が成り立ち、非自明な成長を示唆する。