[論文レビュー] Partial flag incidence algebras

Max Wakefield|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所的に有限な半順序集合における比較可能な要素のn重組みの関数から構成される非結合的・非単位的代数である部分フラッグインシデント代数を導入する。係数は環にとる。一般化されたゼータ関数、デルタ関数、およびモービウス関数を定義し、Tutte多項式の不変量でない新しいフラッグ版特徴多項式を導入する。これは削除-縮約公式の不成立により示され、ブールラティスに対して明示的な公式が得られている。

ABSTRACT

The $n^{th}$ partial flag incidence algebra of a poset $P$ is the set of functions from $P^n$ to some ring which are zero on non-partial flag vectors. These partial flag incidence algebras for $n>2$ are not commutative, not unitary, and not associative. However, partial flag incidence algebras contain generalized zeta, delta, and Möbius functions which are finer and more delicate invariants than their classical analogues. We also study some generalized characteristic polynomials of posets which are not evaluations of Tutte polynomials and compute them for Boolean lattices. Motivation for this work came from studying the matroid Kazhdan-Lusztig polynomials where partial flag Whitney numbers play a central role.

研究の動機と目的

• 半順序集合における部分フラッグに基づく一般化されたインシデント代数を構築し、区間を超えた古典的インシデント代数理論を拡張すること。
• これらの代数における一般化されたモービウス関数および第一種・第二種のウィットニー数を定義し、それらを研究すること。
• フラッグ版特徴多項式を導入し、それが削除-縮約関係を満たすかどうかを同定すること。
• マトロイド・カジダン＝ルシュティグ多項式との関係を確立し、将来的な一般化Tutte多項式の研究のための基盤的ツールを提供すること。
• 削除-縮約公理が満たされないことを示し、新しい特徴多項式が古典的Tutte多項式の評価でないことを証明すること。

提案手法

• 局所的に有限な半順序集合における比較可能な要素のn重組みからなる関数の集合として、n番目の部分フラッグインシデント代数を定義する。係数環Rに値をとるが、非部分フラッグでは0に消える。
• 代数的構造内に一般化されたゼータ関数、デルタ関数、モービウス関数といった標準的要素を導入する。
• 高次元積分畳み込みを模した非自明な畳み込み型積を用い、非結合的かつ非単位的代数を構成する。
• 係数環が可換であるとき、代数に対して Künneth型の積公式を確立し、無限族における計算を可能にする。
• 再帰的構造と多項係数恒等式を用いて、ブールラティスにおける一般化された特徴多項式を計算する。
• 削除および制限操作における多項式の振る舞いをテストし、古典的削除-縮約公式を満たさないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分フラッグ上で定義された一般化された特徴多項式は、古典的Tutte多項式と同様に削除-縮約再帰を満たすか？
• RQ2 部分フラッグインシデント代数における一般化されたモービウス関数は、ロータのクロスカット定理の高次元版を満たすか？
• RQ3 ブールラティスにおけるフラッグ・ウィットニー数の第一種および第二種は、多項係数で表現可能か？
• RQ4 新しいフラッグ特徴多項式は値関数であるか、Dupont, Fink, Mociの超平面配置の値関数理論の枠組みと整合性を持つか？
• RQ5 非結合的・非単位的代数としてのこれらの代数が、マトロイド不変量の研究に有用であるための構造的性質は何か？

主な発見

• ブールラティスB_nにおけるk番目の一般化特徴多項式は、χ_k(B_n; t₁,…,t_k) = (t₁(t₂(⋯(t_{k-1}(t_k−1)+1)⋯+(−1)^{k−1})+(−1)^k)^n で与えられる。
• k=2およびランク2の3本の超平面の配置に対して、特徴多項式はχ₂(A;t₁,t₂) = t₁²t₂² − 3t₁²t₂ + 2t₁² + 3t₁t₂ − 6t₁ + 4 である。
• 部分フラッグの一般化特徴多項式に対する提案された削除-縮約公式は、3本の超平面をもつ簡単なランク2配置に対しても、直接計算により不成立であることが示された。
• 一般化特徴多項式は削除-縮約再帰を満たさないため、古典的Tutte多項式の評価でないことが証明された。
• 多項式は積公式（命題4.3）を満たしており、posetの積において良好に振る舞うことが示されたが、その複雑さは実用的有用性を制限する。
• 一般化モービウス関数は、ロータのクロスカット定理の高次元版を満たしており、古典的結果をフラッグ設定に拡張している。