[論文レビュー] Partially wrapped Fukaya categories of simplicial skeleta

Ludmil Katzarkov, Gabriel Kerr|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、単体的複体でモデル化された特異ラグランジュ的スケルトンを備えた正確なシンプレクティック多様体に対して、部分的にラップしたフカヤカテゴリの新規構成を提示する。これらのカテゴリと非完全なトーリック多様体上の連接層の導来カテゴリの間のホモロジカルミラー対称性の同値性を定義することで、非コンパクトかつ非射影な場合のフロアー理論的ミラーを提供し、完全な場合を超えてホモロジカルミラー対称性を拡張する。

ABSTRACT

A class of partially wrapped Fukaya categories in $T^* N$ are proven to be well defined and then studied. In the case of $N$ diffeomorphic to $\mathbb{R}^m imes \mathbb{T}^n$, it is shown that these categories provide homological mirrors to equivariant and non-equivariant categories of coherent sheaves on toric varieties. This gives a new Floer theoretic formulation of mirror symmetry in the non-complete case.

研究の動機と目的

• 特異ラグランジュ的スケルトンを備えた正確なシンプレクティック多様体に対して、部分的にラップしたフカヤカテゴリを定義し、厳密に構成すること。
• これらのシンプレクティックカテゴリと非コンパクトなトーリック多様体上の連接層の導来カテゴリの間のホモロジカルミラー対称性の同値性を確立すること。
• コンパクトまたは射影的でない場合、特にアフィンおよび準射影的トーリック多様体を含む、ミラー対称性を完全な場合を超えて拡張すること。
• 一つの構成により、GIT商とその成分のミラーを統一的なシンプレクティック枠組みで提供すること。
• Landau-Ginzburgモデルが存在しない場合でさえ、部分的にラップしたフカヤカテゴリが連接層の導来カテゴリを捉えられることを示すこと。

提案手法

• 運動エネルギー関数の滑らかな摂動であるハミルトニアンを用いて、部分的にラップしたフカヤカテゴリを定義し、適切な仮定を緩和する。
• 多様体 M から特異スケルトン Z へのメトリック勾配リトラクション π:M→Z を用いて、Z の滑らかな点上のラグランジュ的繊維を定義する。
• 単体的複体 K の組合せ的構造を用いて、特異点の近傍における局所カテゴリ W(K) を特徴付ける。
• 局所カテゴリ W(K) から構成されるコシェーブの全体切断として、グローバルカテゴリ W_H^Z(M) を構成する。
• トーリック多様体にこの構成を適用する際には、鏡像スケルトンを T*ℝ^n に実現し、ℤ^n の作用を介して T*𝕋^n に上げる。
• K-単項カテゴリとねじれ複体を用いて、ミラー写像を同定し、非自明なコーンや正確なコーシュル複体を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異ラグランジュ的スケルトンを備えた非コンパクトなシンプレクティック多様体に対して、部分的にラップしたフカヤカテゴリを厳密に定義できるか？
• RQ2 このカテゴリは、非射影的トーリック多様体上の連接層の導来カテゴリのホモロジカルミラーを提供するか？
• RQ3 Landau-Ginzburgモデルが存在しないアフィンおよび準射影的トーリック多様体に対しても、ミラー対称性の同値性が成立するか？
• RQ4 スケルトン Z 上のコシェーブ構造が、局所データからグローバルなシンプレクティックカテゴリをどのように符号化するか？
• RQ5 K-単項カテゴリとねじれ複体が、f[1] のようなミラー写像を実現する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 指定された幾何的およびハミルトニアン的条件下で、単体的ラグランジュ的スケルトンを備えた多様体に対して、部分的にラップしたフカヤカテゴリ W_H^Z(M) は適切に定義される。
• N ≅ ℝ^m × 𝕋^n の場合、カテゴリ W_H^Z(U_Σ) は D^b(X_Σ) に同値であり、非完全なトーリック多様体におけるホモロジカルミラー対称性を証明する。
• ℂ²∖{0} のミラーは、T*ℝ² に3つのストラタを持つスケルトン L_K によって実現され、その部分的にラップしたカテゴリは局所的等変性導来カテゴリ D^eq_loc(ℂ²∖{0}) に同値である。
• 等変カテゴリ D^eq(ℂ²∖{0}) のミラーは、ℤ²-不変スケルトン L_K_eq を用いて T*ℝ² に実現され、カテゴリ W(K_eq) は D^eq(ℂ²∖{0}) に同値である。
• 通常の導来カテゴリ D(ℂ²∖{0}) のミラーは、T*𝕋² における商 π(L_K) によって実現され、W_𝕋(K) は D(ℂ²∖{0}) に同値である。
• ミラーカテゴリにおける写像 f[1] の存在は、D_∅、D_{1}、D_{2}、D_{1,2} 上のコーシュル複体の正確性によって代数的に説明される。