[論文レビュー] Homological mirror symmetry for open Riemann surfaces from pair-of-pants decompositions

Heather Ming Lee|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、ペア・オブ・パンツ分解を用いて、穴あきリーマン面におけるホモロジカルミラー対称性を確立する。包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリを、個々のペア・オブ・パンツのカテゴリを一貫性のある $A_\infty$-構造と制限関手を用いて円筒的領域で接合することで計算し、ミラーLandau-Ginzburgモデルの特異性のカテゴリと同値であることを示す。この構成により、局所的なパーツから対称的側の層論的再構成が達成される。

ABSTRACT

Given a punctured Riemann surface with a pair-of-pants decomposition, we compute its wrapped Fukaya category in a suitable model by reconstructing it from those of various pairs of pants. The pieces are glued together in the sense that the restrictions of the wrapped Floer complexes from two adjacent pairs of pants to their adjoining cylindrical piece agree. The $A_\infty$-structures are given by those in the pairs of pants. The category of singularities of the mirror Landau-Ginzburg model can also be constructed in the same way from local affine pieces that are mirrors of the pairs of pants.

研究の動機と目的

• 穴あきリーマン面の包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリをペア・オブ・パンツ分解を用いて層論的メソッドで計算すること。
• ミラーLandau-Ginzburgモデルの特異性のカテゴリと包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリを一致させることで、開リーマン面におけるホモロジカルミラー対称性を確立すること。
• 重複領域を越えて包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリを接合する課題を、制限関手と $A_\infty$-構造の整合性を保証することで解決すること。
• Calabi-Yau多様体に限らない非コンパクトかつ非Calabi-Yauなシンプレクティック多様体に対し、Liouville構造と包絡フロイド理論を用いて接合手続きを一般化すること。

提案手法

• 本稿は、穴あきリーマン面 $H$ を、各々が3個の穴あき球面に微分同相な標準的パーツにペア・オブ・パンツ分解する。
• 包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリ $\mathcal{W}(H)$ は、[AAEKO13] で知られている個々のペア・オブ・パンツの構造を用いて、それらの $A_\infty$-カテゴリから再構成することで計算する。
• 接合は、$\mathcal{W}(S_i)$ から $\mathcal{W}(S_1 \cap S_2)$ への $A_\infty$-制限関手を用いて実装され、重複する円筒的領域におけるフロイド複体の整合性が保証される。
• ミラーLandau-Ginzburgモデルは、ペア・オブ・パンツに対応する局所的アフィンパーツを接合することで構成され、特異性のカテゴリは制限関手の極限として構築される。
• 本稿は、両カテゴリの射空間が接合手続きの下で一致することを示すことにより、包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリと特異性のカテゴリが quasi-equivalent であることを証明する。
• 射空間 $\operatorname{Hom}^{*}(L_\alpha(k), L_\beta(l))$ と $\operatorname{Hom}_{D_{sg}}(\mathcal{O}_{D_\alpha}(k), \mathcal{O}_{D_\beta}(l)[*])$ の一致を、曲線および射影直線上の層コホホロジーを用いたコホモロジー計算によって一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あきリーマン面の包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリは、$A_\infty$-接合を用いてペア・オブ・パンツ分解から再構成可能か？
• RQ2 個々のペア・オブ・パンツの $A_\infty$-構造は、グローバルな包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリを形成するためにどのように組み合わされるか？
• RQ3 ミラーLandau-Ginzburgモデルの特異性のカテゴリは、シンプレクティック側の包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリと同値か？
• RQ4 包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリの射空間と、行列因子化のカテゴリの射空間との正確な関係は何か？
• RQ5 非コンパクトかつ非Calabi-Yau幾何における状況下で、Liouville部分多様体間の制限関手を用いて包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリを接合できるか？

主な発見

• 穴あきリーマン面 $H$ の包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリ $\mathcal{W}(H)$ は、ペア・オブ・パンツ分解の各パーツの包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリからの制限関手の極限として計算される。
• 包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリにおける射空間 $\operatorname{Hom}^{*}(L_\alpha(k), L_\beta(l))$ は、ミラー側の特異性のカテゴリにおける $\operatorname{Hom}_{D_{sg}}(\mathcal{O}_{D_\alpha}(k), \mathcal{O}_{D_\beta}(l)[*])$ と同型である。
• $\alpha = \beta$ の場合、射空間 $\operatorname{Hom}^{*}(L\_\alpha(k), L_\alpha(l))$ は $\mathcal{O}_C(l-k)$ のコホモロジーと同型であり、同次座標と成分上の同値関係を用いて $H^0$ と $H^1$ が計算される。
• $\alpha \ne \beta$ の場合、射空間 $\operatorname{Hom}^{*}(L_\alpha(k), L_\beta(l))$ は $\mathcal{O}_{D_{\alpha\beta}}(D_\alpha)(l-k)$ のコホモロジーと同型であり、$D_{\alpha\beta}$ が非有界であれば $\mathbb{C}$ に同型、有界であれば同次多項式の直和に同型である。
• $D_{\alpha\beta} \cong \mathbb{P}^1$ の場合、コホモロジー $H^0$ と $H^1$ は次数条件により計算される：$n_{\alpha\beta}(l-k) \geq -d_{\alpha,\beta}$ のとき $H^0 \cong \mathbb{C}[x:y]^{n_{\alpha\beta}(l-k)+d_{\alpha,\beta}}$ であり、$n_{\alpha\beta}(l-k) < -d_{\alpha,\beta}-1$ のとき $H^1$ は次数 $n_{\alpha\beta}(k-l)+d_{\alpha,\beta}+2$ の同次多項式の双対に同型である。
• 本稿は、包絡ホミロジー・ファンクター型カテゴリ $\mathcal{W}(H)$ と特異性のカテゴリ $D_{sg}(W^{-1}(0))$ の間の quasi-equivalence を確立し、このクラスの開リーマン面におけるホモロジカルミラー対称性を確認した。