[論文レビュー] Pathologies on Mori fibre spaces in positive characteristic

Hiromu Tanaka|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、特徴量 2 もしくは 3 の場合、Mori ファイバー空間が特徴量 0 とは異なる病理を示す可能性があることを示している。具体的には、klt 総空間が非 klt の基底を持つこと、および相対的に非自明な torsion 線束が存在することである。特徴量 2 もしくは 3 の完備でない体上の曲面と、展開構成を用いて、特徴量 2 もしくは 3 における最小モデルプログラムの標準的性質に反する明示的な例を構成している。

ABSTRACT

We show that there exist Mori fibre spaces whose total spaces are klt but bases are not. We also construct Mori fibre spaces which have relatively non-trivial torsion line bundles.

研究の動機と目的

• 特徴量 2 もしくは 3 における Mori ファイバー空間の標準的性質に対する反例を特定および構成すること。
• klt 総空間から得られる Mori ファイバー空間の基底が、特徴量 2 もしくは 3 において klt でないことがあることを示すこと。
• 特徴量 2 もしくは 3 における Mori ファイバー空間上に相対的に非自明な torsion カルティエ除数が存在することを示すこと。
• 完備でない体上の log del Pezzo 曲面における既知の病理を、高次元の Mori ファイバー空間へと拡張すること。
• 特徴量 2 もしくは 3 における相対的ベースポイントフリー定理および数値的自明性に関する結果の妥当性に疑問を呈すること。

提案手法

• 非滑らかな三次曲線と底体の非自明な拡張を用いて、完備でない体上に log del Pezzo 曲面を構成する。
• ヤコビアンの基準とセール双対性を用いて、$Ω^1$-バンドルの構成におけるコhomological な障害を分析する。
• 相対的 Kawamata–Shokurov ベースポイントフリー定理の変形版を適用して、除数の半アーマー性を分析する。
• 構成された曲面を離散値環上へ展開し、曲面上へのグローバルな準同型を得る。
• 正規化とフロベニウス引き戻しを用いて、底上で MMP を経由するフラップと除数的収縮の系列を実行する。
• キールの半アーマー性定理と $Ω^1$-バンドルの性質を用いて、最終的な準同型が $ρ(V/W) = 1$ かつ $-K_V$ がアーマーであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 klt 総空間を持つ Mori ファイバー空間が、特徴量 2 もしくは 3 において非 klt の基底を持つことは可能か？
• RQ2 特徴量 2 もしくは 3 において、相対的に数値的自明なカルティエ除数は、特徴量 0 の場合と同様に自明のままであろうか？
• RQ3 特徴量 2 もしくは 3 における Mori ファイバー空間上に非自明な $p$-torsion 線束が存在しうるか？
• RQ4 完備でない体と純粋に非可換拡張は、このような病理の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 最小モデルプログラムの標準的結果が、特徴量 2 もしくは 3 においてどの程度失敗するのか？

主な発見

• 代数的に閉じた体（特徴量 2 もしくは 3）上の 4 次元 $Ω$-因子的 klt 代数的集合 $V$ が、3 次元 $Ω$-因子的代数的集合 $W$ に写像され、$W$ は klt でないが、すべての標準的 Mori ファイバー空間条件を満たす。
• 特徴量 2 もしくは 3 の体上の 3 次元 $Ω$-因子的 klt 代数的集合 $V$ が、滑らかな曲線 $W$ への準同型 $f: V o W$ を持ち、$-K_V$ が $f$-アーマーで、$ρ(V/W) = 1$ であり、$V$ 上のカルティエ除数 $D$ が存在して $D otacksim_f 0$ だが $pD acksim_f 0$ である。
• 最初の例における基底空間 $W$ は、$V$ が $Ω$-因子的かつ klt であるにもかかわらず klt でない。これは、Mori ファイバー空間の基底が特徴量 2 もしくは 3 において klt 性を引き継がない可能性があることを示している。
• 滑らかな曲線基底 $W$ 上の $V$ 上に非自明な $p$-torsion 除数が存在することは、[KMM87] における相対的数値自明性結果が特徴量 2 もしくは 3 で成立しないことを示している。
• 構成は、$K_C acksim 0$ である曲線 $C$ への中間の $π^1$-バンドル構造を持つ完備でない体上の曲面 $S$ に依存しており、$C$ は滑らかでないが $S$ は正則的かつ log del Pezzo である。
• 純粋に非可換拡張による引き戻しの下で、コホモロジーが消えないことと $p$-torsion 除数の非自明性を用いて、特徴量 2 もしくは 3 における相対的ベースポイントフリー定理の失敗が示された。