[論文レビュー] Pathology and asymmetry: centralizer rigidity for partially hyperbolic diffeomorphisms

Danijela Damjanović, Amie Wilkinson+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 74被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、1次元中心を持つ体積保存的部分双曲的微分同相写像における剛性現象を確立する。滑らかでエルゴディックな代数的系の摂動—例えば、双曲的多様体上の離散化された測地線流れや特定のトーラス自己同型—は、中心化群がいずれかの意味で virtually ℤ であるか、滑らかな流れを含む。この結果は、2つの主要な剛性メカニズムに依存する：中心葉層に沿った体積のLebesgue分解と、横断的双曲性を持つ可換な微分同相写像による非アーベル的剛性。

ABSTRACT

We discover a rigidity phenomenon within the volume-preserving partially hyperbolic diffeomorphisms with $1$-dimensional center. In particular, for smooth, ergodic perturbations of certain algebraic systems -- including the discretized geodesic flows over hyperbolic manifolds and certain toral automorphisms with simple spectrum and exactly one eigenvalue on the unit circle, the smooth centralizer is either virtually $\mathbb Z^\ell$ or contains a smooth flow. At the heart of this work are two very different rigidity phenomena. The first was discovered in [2,3] for a class of volume-preserving partially hyperbolic systems including those studied here, the disintegration of volume along the center foliation is either equivalent to Lebesgue or atomic. The second phenomenon is the rigidity associated to several commuting partially hyperbolic diffeomorphisms with very different hyperbolic behavior transverse to a common center foliation [25]. We introduce a variety of techniques in the study of higher rank, abelian partially hyperbolic actions: most importantly, we demonstrate a novel geometric approach to building new partially hyperbolic elements in hyperbolic Weyl chambers using Pesin theory and leafwise conjugacy, while we also treat measure rigidity for circle extensions of Anosov diffeomorphisms and apply normal form theory to upgrade regularity of the centralizer.

研究の動機と目的

• 1次元中心を持つ代数的部分双曲的系の摂動における滑らかな中心化群の構造を理解すること。
• そのような摂動が、中心化群に滑らかな流れを含むか、高いアーベル的ランクを持つ場合に、大きな中心化群を保持する条件を特定すること。
• エルゴディック性と滑らかさの仮定の下で、中心化群がいずれかの意味で virtually ℤ であるか、滑らかな流れを含むという二分岐を確立すること。
• 中心葉層に沿った体積のLebesgue分解と、横断的双曲性を持つ可換な微分同相写像による非アーベル的剛性という2つの異なる剛性メカニズムを統合すること。

提案手法

• ペジン理論と葉ごとの共役を用いた、双曲的ウェイル・チャネル内における部分双曲的要素の新規幾何的構成。
• アノソフ微分同相写像の円被覆への拡張に対して、熱力学的形式主義を用いた測度的剛性の応用。
• 中心葉層に沿ったコサイクル剛性を解析するための部分双曲的リヴシツ理論の使用。
• 支配的分解の存在下での正則性を制御するための非定常正規形の実装。
• 特に [23] の定理11を応用して、保存的アーベル的作用に関するグローバル剛性結果を活用し、線形アノソフ作用と回転作用の積への滑らかな共役を結論づける。
• 双曲的ウェイル・チャネル構造とリャプノフ汎関数の分析により、グローバル剛性の条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積保存的、部分双曲的微分同相写像（1次元中心）の滑らかでエルゴディックな摂動が、その反復生成群よりも大きな中心化群を持つのはどのような条件下か？
• RQ2 そのような摂動の中心化群が滑らかな1パラメータの流れを含むのはいつか？
• RQ3 中心葉層に沿った体積の分解性（Lebesgue的か原子的か）は、中心化群の構造とどのように相互作用するか？
• RQ4 摂動の下で、中心化群が virtually ℤ から滑らかな流れを含むように拡大するのを可能にする剛性メカニズムは何か？
• RQ5 双曲的ウェイル・チャネルの図式と可換な微分同相写像のリャプノフ汎関数によって、中心化群の構造をどの程度まで特定できるか？

主な発見

• 負曲率多様体上の離散化測地線流れや、単純スペクトルと単位円上に1つの固有値をもつ特定のトーラス自己同型の滑らかでエルゴディックな摂動に対して、滑らかな中心化群はいずれかの意味で virtually ℤ であるか、滑らかな流れを含む。
• 中心葉層に沿った体積の分解は、Lebesgue的か原子的かのいずれかであり、この二分岐が剛性メカニズムの中心的役割を果たす。
• 中心化群のアーベル的ランク ℓ₀ > 1 である場合、トーラス因子上の作用は、𝕋^{d−1} 上の線形アノソフ作用と 𝕋¹ 上の回転作用の積に滑らかに共役される。ただし、リャプノフ汎関数が 1/2-ピンチング条件を満たし、かつ任意のペアについて χᵢ = cχⱼ が c ∈ (−∞, 1/2] ∪ [2, ∞) に属さないことが条件となる。
• そのような摂動の中心化群はグローバルに剛性である：高ランクのアーベル群が可換で横断的双曲性を持つならば、系は線形アノソフ作用と回転の積に滑らかに共役される。
• 中心化群のトーラス因子上への作用は C∞ 滑らかで体積保存的であり、この正則性は、安定・不安定葉層に沿った滑らかな正規形の保存から、ジュルネの補題を用いて導かれる。
• 中心化群作用のすべてのウェイル・チャネル内に部分双曲的要素が存在できることにより、グローバル剛性定理の適用が可能となり、系が標準的モデルに滑らかに共役されることを結論づける。