[論文レビュー] Pathwise Viscosity Solutions of Stochastic PDEs and Forward Path-Dependent PDEs

Rainer Buckdahn, Jin Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、勾配に依存する拡散項を有する完全非線形前向き確率偏微分方程式（SPDE）に対して、Dupireの経路別解析および経路別確率的テイラー展開を活用して、経路別バナッハ解釈という新しい概念を導入する。一般の係数条件のもとで、解の存在、一意性、安定性、および比較原理を含む適切な定義が確立される。

ABSTRACT

In this paper we propose a new notion of pathwise viscosity solution for a fairly large class of fully nonlinear (forward) Stochastic PDEs whose diffusion term is allowed to depend on both the solution and its gradient. With the help of the newly developed pathwise analysis in the sense of Dupire [10], we shall identify a forward SPDE as a Path-dependent PDE. We then propose a notion of (pathwise) viscosity solution to the PPDE in terms of the pathwise stochastic Taylor expansion, developed in our previous work [5] within Dupire’s pathwise analysis paradigm. Under some general assumptions on the coefficients, we prove the wellposedness of the viscosity solution: consistency, stability, existence, comparison principle and uniqueness.

研究の動機と目的

• 勾配に依存する拡散項を有する前向き確率的偏微分方程式のための新しいバナッハ解釈フレームワークを構築すること。
• Dupireの意味での経路別解析を用いて、前向きSPDEと経路依存偏微分方程式（PPDE）を結びつけること。
• 先行研究[5]における経路別確率的テイラー展開を用いて、経路別バナッハ解釈を定義すること。
• 解の概念の適切な定義を確立すること、これには存在、一意性、安定性が含まれる。
• 一般の係数仮定のもとで、提案されたバナッハ解釈に対して比較原理を証明すること。

提案手法

• 確率測度の仮定なしに、確率過程の標本路を解析するためにDupireの経路別イト計算を用いる。
• 経路別解析を通じて、前向きSPDEを経路依存型偏微分方程式（PPDE）として表現する。
• 先行研究[5]における経路別確率的テイラー展開を用いて、経路別バナッハ解釈を定義する。
• 確率的期待値を避けるために、経路別にバナッハ解釈をPPDEに適用する。
• 解の唯一性を証明するために、経路別の構造に基づく比較原理の議論を用いる。
• 経路別摂動解析を用いて、解の概念の整合性と安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配に依存する拡散項を有する前向きSPDEに対して、どのように経路別にバナッハ解釈を定義できるか？
• RQ2 どのようにして経路別解析を用いて、前向きSPDEを経路依存型PDEとして解釈できるか？
• RQ3 提案された経路別バナッハ解釈の適切な定義を保証する条件は何か？
• RQ4 経路別確率的テイラー展開は、バナッハ解釈の定義をどのように支援するか？
• RQ5 前向きSPDEの経路別バナッハ解釈に対して、比較原理を確立できるか？

主な発見

• 提案された経路別バナッハ解釈の概念は、解が存在する場合には古典的解と整合的である。
• 係数および解の近似列の一様収束のもとで、解の概念は安定である。
• SPDEの係数に関する一般仮定のもとで、経路別バナッハ解釈の存在が確立される。
• 経路別バナッハ解釈に対して比較原理が成り立ち、一意性が保証される。
• 与えられた仮定のもとで、有界かつ連続関数の範囲において解は一意である。
• このフレームワークは、勾配に依存する拡散項を有する完全非線形前向きSPDEの広いクラスに適用可能である。