[論文レビュー] Pattern avoidance is not P-recursive

Scott Garrabrant, Igor Pak|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

semigroups and automata theory参考文献 31被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、$S_{80}$内の有限個の置換パターンの集合が存在し、それらを回避する置換の個数がP-再帰的でないことを示すことによって、 Noonan–Zeilberger予想を反証する。証明は計算可能性理論を用いて、2スタックオートマトンをパターン回避問題に埋め込み、そのオートマトンの受理経路の個数が2を法として、P-再帰的でないオートマトンと一致することを示している。

ABSTRACT

Let $F \subset S_k$ be a finite set of permutations and let $C_n(F)$ denote the number of permutations $σ$ in $S_n$ avoiding the set of patterns $F$. The Noonan-Zeilberger conjecture states that the sequence ${C_n(F)}$ is P-recursive. We use Computability Theory to disprove this conjecture.

研究の動機と目的

• すべてのパターン回避列がP-再帰的であると仮定する長年の Noonan–Zeilberger予想を反証すること。
• パターン回避置換の個数を数える問題の複雑さが、P-再帰的列の範囲を超える可能性を確立すること。
• 置換パターン集合について、2を法としたWilf同値性の問題が決定不能であることを示すこと。
• 標準的な複雑さの仮定のもとで、あるパターン回避列が多項式時間では計算できないことがあることを示すこと。

提案手法

• 入力長の算術級数において受理経路の個数がP-再帰的でない2スタックオートマトンを構成する。
• 組合せ的構成を用いて、そのオートマトンの経路数え上げ問題を置換パターン回避問題に埋め込む。
• メイン補題を用いて、特定のパターン集合 $\mathcal{F} \subset S_{80}$ を回避する置換の個数が、無限に多くの $n$ に対して2を法として受理経路の個数と一致することを示す。
• 先行研究 [GP1] の線形群におけるP-再帰的でない列に関する結果を活用し、決定不能性と複雑さの結果を移転する。
• 埋め込みを適用して、2を法としたWilf同値性を決定することは決定不能であることを示す。
• 複雑性理論的仮定（例えば、$\text{EXP} \neq \oplus\text{EXP}$）を用いて、その回避列が $n$ に対して多項式時間で計算できないパターン集合の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限個の置換パターン集合に対して、パターン回避列が常にP-再帰的であるという Noonan–Zeilberger予想は正しいか？
• RQ2 与えられたパターン集合を回避する置換の個数が、多項式係数をもつ任意の線形再帰関係を満たさないことはあり得るか？
• RQ3 2を法とした2つのパターン集合がWilf同値であるかどうかを決定する問題は決定可能か？
• RQ4 多項式時間で計算できない回避置換の個数を持つ有限個の置換パターン集合が存在し得るか？

主な発見

• Noonan–Zeilberger予想は誤りである：$S_{80}$ の部分集合である有限集合 $\mathcal{F}$ が存在し、$\{C_n(\mathcal{F})\}$ はP-再帰的でない。
• 証明は、受理経路の個数がP-再帰的でない2スタックオートマトンを構成し、それをモジュラ等価を介してパターン回避問題に埋め込む。
• すべての $n$ に対して $C_n(\mathcal{F}_1) \equiv C_n(\mathcal{F}_2) \pmod{2}$ かどうかを判定する問題は決定不能である。
• $\text{EXP} \neq \oplus\text{EXP}$ を仮定すると、$\{C_n(\mathcal{F})\}$ が $n$ に対して多項式時間で計算できない有限パターン集合 $\mathcal{F}$ が存在する。
• この構成により、このような $\mathcal{F}$ に対する生成関数 $\{C_n(\mathcal{F})\}$ が必ずしもD-有限（つまり、ホロノミックでない）であるとは限らないことが示された。
• この結果は、多項式時間で計算可能な公式を持たない自然な組合せ的数え上げ問題の族が存在するかどうかというウィルフの問いに対して、否定的な答えを与える。