[論文レビュー] Pattern occurrence statistics and applications to the Ramsey theory of unavoidable patterns

Jim Tao|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2014

semigroups and automata theory参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、解析的組合せ論と確率的技法を用いて、完全語および部分語におけるパターン出現の漸近統計を導出し、それらを用いて無傷パターンに関する新たなラマセー理論的結果を得た。非アーベルおよびアーベルパターン回避におけるラマセー長の下界を確立し、穴密度dをもつ部分語における期待パターン出現回数の明示的公式も得た。

ABSTRACT

As suggested by Currie, we apply the probabilistic method to problems regarding pattern avoidance. Using techniques from analytic combinatorics, we calculate asymptotic pattern occurrence statistics and use them in conjunction with the probabilistic method to establish new results about the Ramsey theory of unavoidable patterns in the full word case (both nonabelian sense and abelian sense) and in the partial word case. Keywords: Combinatorics on words; Partial words; Unavoidable patterns; Abelian patterns; Probabilistic method; Analytic combinatorics; Ramsey theory.

研究の動機と目的

• 組合せ論的語の文脈、特にラマセー理論において、パターン回避問題への確率的技法の拡張を図ること。
• 解析的組合せ論を用いて、完全語および部分語におけるパターン出現の漸近統計を計算すること。
• 非アーベルおよびアーベルパターン回避の両設定において、ラマセー長に対する新たな下界を確立すること。
• 穴密度dをもつ部分語へと結果を一般化し、未定義位置をもつ語におけるパターンの解析を可能にすること。
• パターン統計の暗号理論および音楽学への応用を探索し、新たな研究方向性を示唆すること。

提案手法

• 通常の母関数と多変数解析的組合せ論を用いて、大きな語におけるパターン出現の分布をモデル化・計算する。
• 複素解析の技法を適用し、母関数から漸近統計を抽出する。特に、パターン出現の期待値に注目する。
• 確率的技法を用い、パターン出現の期待値が1未満であるならば、そのパターンを回避する語が存在することを示す。
• 穴密度dをもつ部分語における期待パターン出現回数の閉形式の漸近的表現を導出する：$\widehat{\Omega}_{n,d} \sim \frac{n^{s+1}}{(s+1)!} \prod_{j=s+1}^{r} \frac{[1+d(m-1)]^{k_j} - (1-1/m)(md)^{k_j}}{m^{k_j-1} - [1+d(m-1)]^{k_j} + (1-1/m)(md)^{k_j}}$。
• スターリングの近似を用いて、m文字アルファベット上、長さn、穴の数hの部分語の総数を推定する。
• これらの統計を応用し、ラマセー長$L_d(m,Z_i)$および$L(m,p)$の下界を導出する。特に、繰り返し変数を含むパターンに対して重点を置く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴密度dの部分語において、与えられたパターンがアーベル的意味で回避可能である条件は何か？ また、これは漸近統計を用いてどのように定量化できるか？
• RQ2 穴密度dをもつ部分語におけるラマセー長$L_d(m,p)$の下界および上界は何か？
• RQ3 確率的技法は、回転に関して同一視される語（フルネックレス）におけるパターン回避の分析に適応可能か？
• RQ4 穴密度dをもつ部分語におけるパターン出現統計は、暗号的セキュリティとどのように関係するか？ 特に、暗号文に隠されたメッセージの検出に応用可能か？
• RQ5 与えられたパターンpの対称性によって生成される、$1^n$の対称性群の部分群は何か？

主な発見

• m文字アルファベット上、穴密度dをもつ長さnの部分語におけるパターン$p$の出現回数の期待値は、漸近的に$\widehat{\Omega}_{n,d} \sim \frac{n^{s+1}}{(s+1)!} \prod_{j=s+1}^{r} \frac{[1+d(m-1)]^{k_j} - (1-1/m)(md)^{k_j}}{m^{k_j-1} - [1+d(m-1)]^{k_j} + (1-1/m)(md)^{k_j}}$ に漸近する。
• m=12、n=100、d=1/10のとき、パターンabacabaの期待出現回数は約17.788である。
• $\widehat{\Omega}_{n,d} < 1$ であるならば、確率的技法により、穴密度dの長さnのパターン$p$を回避する部分語が存在することが保証され、これによりラマセー長の下界が得られる。
• $L_d(m,Z_i)$の下界として$(1+o(1))\sqrt{2\prod_{j=1}^{i-1}\left(\frac{m^{2^j-1}}{[1+d(m-1)]^{2^j} - (1-1/m)(md)^{2^j}} - 1\right)}$ を導出し、m=12、d=1/10、i=3のとき、$L_{1/10}(12,Z_3) \geq 23.709$ が得られる。
• 本稿は、確率的技法と解析的組合せ論を組み合わせることで、完全語および部分語の両設定において、ラマセー長に対する有効な下界が得られることを確立した。
• 結果はアーベルパターン回避および部分語へと拡張され、今後の記号的力学系、暗号理論、音楽学における解析のためのフレームワークを提供する。