[論文レビュー] Pattern restricted quasi-Stirling permutations

Kassie Archer, Adam Gregory+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、{1,1,2,2,…,n,n} の多重集合の置換として定義され、1212 および 2121 のパターンを回避する quasi-Stirling 置換を導入し、Stirling 置換の自然な一般化として位置づける。著者らは、これらの置換と順序付き根付きラベル付き木の間の全単射を確立し、さまざまなパターン回避条件の下での数え上げを実施。特に、サイズが 2 以上の 3 パターンの集合についての完全分類を提供。主な結果として、4 つの特定の 3 パターンを回避すると、集合に応じて 3 または 2 つの置換が得られることを示している。

ABSTRACT

We define a variation of Stirling permutations, called quasi-Stirling permutations, to be permutations on the multiset $\{1,1,2,2,\ldots, n,n\}$ that avoid the patterns 1212 and 2121. Their study is motivated by a known relationship between Stirling permutations and increasing ordered rooted labeled trees. We construct a bijection between quasi-Stirling permutations and the set of ordered rooted labeled trees and investigate pattern avoidance for these permutations.

研究の動機と目的

• 1212 および 2121 のパターンを回避する、quasi-Stirling 置換と呼ばれる新しい置換のクラスを定義し、その性質を調査すること。
• 既知の Stirling 置換と木の対応を一般化する、quasi-Stirling 置換と順序付き根付きラベル付き木との間の全単射を確立すること。
• 特に 3 パターンの集合に対して、さまざまなパターン回避条件の下での quasi-Stirling 置換の数え上げを実施すること。
• これらの置換における plateau（連続する繰り返し要素）の数を調査し、それらを木の葉構造に関連付けること。
• パターン数え上げ、統計（例えば、降下数）、モデルの一般化に関する未解決問題を同定すること。

提案手法

• quasi-Stirling 置換を、{1,1,2,2,…,n,n} の置換として定義し、1212 および 2121 のパターンを回避することとする。
• 深さ優先走査を用いて、[n] 上の順序付き根付きラベル付き木と quasi-Stirling 置換との間の全単射 φ を構成。この走査では、辺の下にある頂点を記録する。
• 得られた置換における 1212 および 2121 パターンの回避を、木構造を用いて特徴付ける。
• 母関数や既知の木の葉数に関する結果を用いて、組合せ的数え上げ技法を適用し、正確な公式を導出する。
• 既知の k 個の葉をもつ順序付き根付きラベルなし木の数を活用し、k 個の plateau をもつ quasi-Stirling 置換の数を導出する。
• 再帰的および構造的推論を用いて、特定の 3 パターンの集合を回避する置換を数える。特に、123 または 321 のみを許容する場合も含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズが 2 以上のすべての 3 パターンの集合を回避する quasi-Stirling 置換の数は何か？
• RQ2 集合 {123,132,231,312} を回避する quasi-Stirling 置換はいくつで、その置換の構造はどのようなものか？
• RQ3 正確に k 個の plateau をもつ quasi-Stirling 置換の数は何か？また、それは木の葉数とどのように関係するか？
• RQ4 123 または 321 のような単一の 3 パターンを回避する quasi-Stirling 置換の数え上げは可能か？もし可能であれば、どのような漸化式または閉形式で表せるか？
• RQ5 quasi-Stirling 置換における降下数と、根付きフォレストのような既知の組合せ的構造との間に、関係があるか？

主な発見

• すべての n ≥ 3 に対して、集合 {123,132,231,312} を回避する quasi-Stirling 置換の数は正確に 3 である。
• すべての n ≥ 3 に対して、集合 {132,213,231,312} を回避する quasi-Stirling 置換の数は正確に 2 である。これは、完全に増加または完全に減少する置換に対応する。
• 正確に k 個の plateau をもつ quasi-Stirling 置換の数は、次の式で与えられる：$\frac{n!}{k}\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k-1}$。
• すべての n ≥ 5 に対して、集合 {123,132,213,231,321} を回避する quasi-Stirling 置換の数は 0 である。
• すべての n ≥ 3 に対して、集合 {123,132,213,231,312} を回避する quasi-Stirling 置換の数は正確に 1 である。これは、減少する置換に対応する。
• 著者らは、正確に n−1 個の降下をもつ quasi-Stirling 置換の数が $ (n+1)^{n-1} $ であると予想している。これは、n 個のノードをもつ根付き無順序フォレストの数と一致する。