[論文レビュー] PEL Modulispaces without $\mathbb C$-valued points

Oliver Bueltel|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、奇素数の特異点におけるシムーラ多様体のファイバーについて、新たなモジュライ解釈を提供し、任意の有界対称領域が、奇素数 p の素因数における良い還元を持つような算術群による商をもつことを示している。主な貢献は、奇素数の特異点におけるすべての有界対称領域に対して、このような良い還元モデルの存在を確立したことにある。

ABSTRACT

We give several new moduli interpretations of the fibers of certain Shimura varieties over several prime numbers. As a corollary we obtain that for every prescribed odd prime characteristic $p$ every bounded symmetric domain possesses quotients by arithmetic groups whose models have good reduction at a prime divisor of $p$.

研究の動機と目的

• 奇素数の特異点におけるシムーラ多様体のファイバーの構造を理解すること。
• 算術群を用いて、これらのファイバーに対する新たなモジュライ解釈を提供すること。
• 奇素数 p の素因数における、有界対称領域の商の良い還元モデルの存在を確立すること。

提案手法

• 算術群の作用を用いて、素数におけるシムーラ多様体のファイバーを分析すること。
• モジュライ論的解釈を用いて、これらのファイバーの幾何を記述すること。
• 有界対称領域およびその算術的商の理論を活用すること。
• モジュライ構成を通じて、奇素数 p の素因数における良い還元を確立すること。
• シムーラ多様体の文脈において、既知の良い還元および算術群の商に関する結果を活用すること。
• レベル構造をもつアーベル多様体のモジュライ空間と、p におけるファイバーを結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有界対称領域は、奇素数 p の素因数における良い還元を持つ算術群による商をもつのか？
• RQ2 奇素数におけるシムーラ多様体のファイバーは、新たなモジュライ解釈をもつのか？
• RQ3 アーベル多様体のモジュライ空間と、奇素数の特異点における良い還元の関係は何か？
• RQ4 算術群は、有界対称領域にどのように作用し、良い還元を持つモデルを生じさせるのか？
• RQ5 有界対称領域の商が、p を割る素数において良い還元を持つための条件は何か？

主な発見

• 任意の奇素数 p に対して、任意の有界対称領域は、p の素因数における良い還元を持つ算術群による商をもつ。
• 特定のシムーラ多様体の奇素数におけるファイバーは、算術群の商を通じて新たなモジュライ解釈をもつ。
• 有界対称領域の算術的商は、p の素因数において良い還元が達成される。
• この構成は、奇素数におけるシムーラ多様体のファイバーのモジュライ論的記述に依拠している。
• 結果として、良い還元現象の適用範囲が、奇素数の特異点におけるすべての有界対称領域へ拡張される。
• 本稿は、指定された設定において良い還元モデルの一般的存在結果を確立している。