[論文レビュー] Perfect simulation for stochastic chains of infinite memory: relaxing the continuity assumption

Sandro Gallo, Nancy L. Garcia|arXiv (Cornell University)|May 29, 2010

Algorithms and Data Compression参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、連続でない遷移核をもつ無限記憶の確率的チェーンのための完全シミュレーションアルゴリズムを提示する。Kalikow型の分解を用いて、非有界な確率的コンテキストツリーへの分解を実現する。主な貢献は、連続係数の和分条件の下で、確実に有限停止時間に到達することの証明であり、連続性を仮定しなくても、定常分布の存在と一意性を保証する。

ABSTRACT

This paper is composed of two main results concerning chains of infinite order which are not necessarily continuous. The first one is a decomposition of the transition probability kernel as a countable mixture of unbounded probabilistic context trees. This decomposition is used to design a simulation algorithm which works as a combination of the algorithms given by Comets et al. (2002) and Gallo (2009). The second main result gives sufficient conditions on the kernel for this algorithm to stop after an almost surely finite number of steps. Direct consequences of this last result are existence and uniqueness of the stationary chain compatible with the kernel.

研究の動機と目的

• 遷移核が連続でない場合の、無限記憶の確率的チェーンの完全シミュレーション手法の開発。
• 連続性やマルコフ性の仮定に依存する従来の完全シミュレーション手法の一般化。
• シミュレーションアルゴリズムが確実に有限時間で停止するための十分条件の確立。
• 不連続性が存在する場合でも、核と整合する定常分布の存在と一意性の証明。

提案手法

• 遷移核を、非有界な確率的コンテキストツリーの可算混合に、Kalikow型の分解を用いて表現。不連続性が特定の無限分岐点に現れることを許容する。
• CFTP（過去からの結合）と分解を組み合わせ、完全シミュレーションアルゴリズムを構築する。
• 正の確率を持つ参照文字列 w ∈ ℰ⋆ を用いた再生スキームを導入し、確実に有限停止時間に到達することを保証する。
• 参照文字列 w における最小化条件を用いて、再生の正の確率を保証し、コンテキストツリー分解の構造を活用する。
• 連続係数 αk^w を定義し、各 w ∈ ℰ⋆ に対して ∑k≥0(1−αk^w) < ∞ を要求することで、期待停止時間が有限であることを保証する。
• 一様乱数変数のブロック間における確率的結合と独立性の議論を用いて、非停止確率の上限を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遷移核が特定の無限過去の構成で不連続である場合、無限記憶のチェーンに対して完全シミュレーションが可能か？
• RQ2 連続係数 αk^w にどのような条件を課すと、シミュレーションアルゴリズムが確実に有限時間で停止するか？
• RQ3 核が連続でない場合でも、定常分布の存在と一意性が保証されるか？
• RQ4 一様連続性よりも弱い仮定の下でも、シミュレーションアルゴリズムが実用的かつ効率的か？
• RQ5 非連続な場合にCFTPに基づくシミュレーションが成立するためには、参照文字列 w における最小化条件が必須か？

主な発見

• 本稿では、一般の遷移核を、不連続であっても非有界な確率的コンテキストツリーへのKalikow型分解を確立した。
• 各 w ∈ ℰ⋆ に対して ∑k≥0(1−αk^w) < ∞ が成り立つ限り、完全シミュレーションアルゴリズムは確実に有限時間で停止する。
• アルゴリズムの有限停止時間の直接的結果として、核と整合する定常分布の存在と一意性が保証される。
• アルゴリズムは、全体の無限分岐に沿って不連続性が生じる場合でも有効であり、従来の連続性を仮定する結果を拡張する。
• 本手法は [1]（連続核）および [4]（コンテキストツリー核）の両方を一般化し、任意のコンテキストツリーの葉に不連続性を許容する。
• 和分条件の下で期待停止時間が有限であり、特定の履歴集合に限定されない不連続性に対しても、アルゴリズムは頑健である。