[論文レビュー] A general framework for perfect simulation of long memory processes

Emilio De Santis, Mauro Piccioni|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2010

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、情報深さに基づく後向き共alescence時間と修正されたカップリング関数を導入することで、可算状態空間を有する長記憶確率過程の完全シミュレーションの一般枠組みを提示する。先行研究を拡張し、特に一般化された有向グラフ上のランダムウォークに対しても、強い最小化条件を要しない幅広い仮定の下で確実な共alescenceを保証する新規カップリング関数を用いることで、完全シミュレーションの条件を弱める。

ABSTRACT

In this paper a general approach for the perfect simulation of a stationary process with at most countable state space is outlined. The process is specified through a kernel, prescribing the probability of each state conditional to the whole past history. We follow the seminal paper of Comets, Fernandez and Ferrari, where sufficient conditions for the construction of a certain perfect simulation algorithm have been given. We generalize this approach by defining backward coalescence times for these kind of processes; this allows us to construct perfect simulation algorithms under weaker conditions.

研究の動機と目的

• 可算状態空間を有する定常的長記憶過程の完全シミュレーションの一般枠組みの構築を目的とする。
• マーカフ連鎖にとどまらず、無限記憶を有する過程に対しても、既存の完全シミュレーション手法を拡張することを目的とする。
• 情報深さに基づく後向き共alescence時間の導入により、完全シミュレーションに要する条件を弱める。
• 修正カップリング関数を用いて、確実な共alescenceおよび定常過程の一意性を保証する十分条件を確立する。
• 有限有向グラフ上の一般化されたランダムウォーク、特に強連結かつ非周期的な構造を有するものに、この枠組みを適用することを目的とする。

提案手法

• 無限記憶を有する過程のための後向き共alescence時間を、過去の履歴に適応する停止時刻として定義する情報深さに基づいて導入する。
• 情報深さから後向き共alescence時間の標準的構成を定義し、適切な条件下で確実に有限であることを保証する。
• 複数の一様乱数に依存する修正カップリング関数を提案し、単一変数カップリングを上回る共alescence特性を向上させる。
• CFF02 で提示された最大カップリング関数をベースとし、初期カップリングが共alescenceしない場合に対応するように変更する。
• CFTP（過去からのカップリング）の原則を、ガンマカップラー手法と統合することで、完全サンプリングを保証する。
• 拡張状態空間 $ G^{l+1} $ における誘導されたマルコフ核が後向き共alescenceおよび一意な定常分布を保証する条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の知られていた条件よりも弱い条件下で、可算状態空間を有する長記憶過程の完全シミュレーションが達成可能か？
• RQ2 無限記憶を有する非マルコフ過程のための後向き共alescence時間は、どのように構築可能か？
• RQ3 カップリング関数にどのような修正を加えると、強い最小化条件を要さずに確実な共alescenceを達成できるか？
• RQ4 拡張状態空間 $ G^{l+1} $ における誘導されたマルコフ核が、完全シミュレーションを保証する条件は何か？
• RQ5 この枠組みは、強連結かつ非周期的な構造を有する有限有向グラフ $ \mathcal{G} = (G, \mathcal{A}) $ 上の一般化されたランダムウォークに適用可能か？

主な発見

• 情報深さが確実に有限である限り、カーネル $ p $ と整合する定常過程に対して、後向き共alescence時間は確実に構築可能である。
• 情報深さに基づく修正カップリング関数 $ \hat{f} $ は、$ |G|+1 $ 個の一様乱数に依存し、元の最大カップリング関数よりも弱い条件下でも後向き共alescenceを保証する。
• 有限状態空間では、誘導されたマルコフ核が一意で、非周期的かつ強連結なクラスを有する限り、後向き共alescenceは確実に成立する。
• 有限有向グラフ $ \mathcal{G} = (G, \mathcal{A}) $ 上の一般化されたランダムウォークに、この枠組みが適用可能である。条件は $ \sum_{n=1}^\infty \prod_{m=1}^n a_m = \infty $、$ \mathcal{G} $ が強連結かつ非周期的であること、および各 $ g \in G $ に対して $ (w,g) \notin \mathcal{A} $ を満たす $ w \in G $ が存在することである。
• $ a_1 = \dots = a_l = 0 $ かつ $ a_{l+1} > 0 $ の場合、状態空間 $ G^{l+1} $ 上のマルコフ核へと拡張可能であり、共alescenceおよびシミュレーションの性質を保持する。