[論文レビュー] Performance of QAOA on Typical Instances of Constraint Satisfaction Problems with Bounded Degree

Cedric Yen-Yu Lin, Yechao Zhu|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）が、変数あたりの制約数の最大値が $D$ である有界次数の制約充足問題（CSP）の典型例において、ランダム割り当てからの期待値 $ mu$ に加え、$ Omega(1/\sqrt{D})$ の割合の制約を効率的に満たす割り当てを生成できることを示している。この結果は、Max-$k$ XOR や Max-$k$ SAT などのCSPに対して、形式的な「典型性」の概念のもとで成り立ち、性能の分散が小さい。

ABSTRACT

We consider constraint satisfaction problems of bounded degree, with a good notion of "typicality", e.g. the negation of the variables in each constraint is taken independently at random. Using the quantum approximate optimization algorithm (QAOA), we show that $ μ+Ω(1/\sqrt{D}) $ fraction of the constraints can be satisfied for typical instances, with the assignment efficiently produced by QAOA. We do so by showing that the averaged fraction of constraints being satisfied is $ μ+Ω(1/\sqrt{D}) $, with small variance. Here $ μ$ is the fraction that would be satisfied by a uniformly random assignment, and $ D $ is the number of constraints that each variable can appear. CSPs with typicality include Max-$ k $XOR and Max-$ k $SAT. We point out how it can be applied to determine the typical ground-state energy of some local Hamiltonians. We also give a similar result for instances with "no overlapping constraints", using the quantum algorithm. We sketch how the classical algorithm might achieve some partial result.

研究の動機と目的

• 有界次数の制約充足問題（CSP）に対して、各制約の否定が独立にランダムに選ばれるという形式的「典型性」の概念を定義すること。
• QAOAが、このような典型例において、$ mu + \Omega(1/\sqrt{D})$ の制約割合を満たす割り当てを効率的に生成できることを証明すること。
• この量子的優位性が、性能の分散が小さいことから、典型例全体にわたって安定していることを示すこと。
• 「重複する制約がない」CSPにこの結果を拡張し、古典的アルゴリズムと比較すること。

提案手法

• 各制約における変数の否定が独立にランダムに選ばれる条件として、典型性を定義し、インスタンス間での統計的均一性を保証すること。
• 各制約の多項式表現における最高次数の項を捉える、切り詰めたハミルトニアンを用いたQAOAフレームワークを採用すること。
• 多変数多項式分解（定理1）を用い、各制約を $ pm1$-値をとる変数の単項式の和として表現すること。
• 制約間の係数の独立性と集中不等式を用いて、QAOA目的関数の期待値を分析すること。
• 条件付き期待値と分散分析を用い、期待される優位性が $\Omega(1/\sqrt{D})$ のスケールで増加することを示すこと。
• 多項式の集中に関する定理8を用いて、満たされた制約数がその平均から逸脱する確率を抑えられることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界次数のCSPの典型例において、QAOAはランダム割り当てよりも $\Omega(1/\sqrt{D})$ の性能優位性を達成できるか？
• RQ2 典型性が、QAOAの性能が平均値のまわりに集中していることを保証する役割を果たす理由は何か？
• RQ3 切り詰めたハミルトニアンを用いたQAOAも依然として $\Omega(1/\sqrt{D})$ の優位性を示すのか？また、全ハミルトニアンを用いた場合と比べてどう異なるか？
• RQ4 古典的アルゴリズムは、同様の典型CSPクラスにおいて、$\Omega(1/\sqrt{D})$ の優位性を達成できるか？
• RQ5 重複する制約がないなどの構造的条件下で、QAOAは依然として顕著な優位性を示すのか？

主な発見

• 有界次数のCSPの典型例において、QAOAは、ランダム割り当ての基準値 $ mu$ に加え、$\mu + \Omega(1/\sqrt{D})$ の制約割合を満たす割り当てを生成する。
• 満たされた制約の割合の分散が小さいため、典型例全体にわたって高確率で安定した性能が得られる。
• Max-$k$ XOR や Max-$k$ SAT に対しても、典型性のもとでこの結果が成り立ち、QAOAアーンザの量子干渉効果に起因する優位性が生じる。
• 切り詰めたハミルトニアンアプローチは、QAOA期待値の主要寄与を捉えており、高次項の寄与は $O(1/\sqrt{D})$ に制限される。
• Barakらの古典的アルゴリズムは、一部のケースで $\Omega(1/\sqrt{D})$ の優位性を達成できるが、量子的手法は構造的仮定を必要とせず、より一般性が高い。
• 数値的証拠から、全ハミルトニアンを用いることで $\Omega(1/\sqrt{D})$ 項の定数係数が向上する可能性があるが、漸近的スケーリングには変化がない。