[論文レビュー] Permutation polynomials induced from permutations of subfields, and some complete sets of mutually orthogonal latin squares

Michael E. Zieve|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 16被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、$fiq$ 上の有限体における置換多項式を、部分体 $fiQ$ の置換から構成する新しい手法を提案する。ここで $q = Q^m$ である。ノルム写像と指数および係数多項式に関する条件を用いることで、完全な置換多項式を含む新しい置換多項式の族が得られ、それらを用いて完全な相互直交ラテン平方の集合（MOLS）を構成する。本手法により、WuとLin（2013）が提起した未解決問題が解決され、最近の結果の証明が簡略化される。

ABSTRACT

We present a general technique for obtaining permutation polynomials over a finite field from permutations of a subfield. By applying this technique to the simplest classes of permutation polynomials on the subfield, we obtain several new families of permutation polynomials. Some of these have the additional property that both f(x) and f(x)+x induce permutations of the field, which has combinatorial consequences. We use some of our permutation polynomials to exhibit complete sets of mutually orthogonal latin squares. In addition, we solve the open problem from a recent paper by Wu and Lin, and we give simpler proofs of much more general versions of the results in two other recent papers.

研究の動機と目的

• $fiq$ 上の置換多項式を、既知の $fiQ$ 上の置換多項式から一般化して生成するための技術を開発すること。
• 両方の $f(x)$ と $f(x)+x$ が $fiq$ を置換する完全な置換多項式の新しい族を構成すること。
• これらの多項式を用いて完全な相互直交ラテン平方（MOLS）の集合を構成すること。
• WuとLinが提起した、$fi{2^{2^e}}$ 上の完全な置換多項式に関する未解決問題を解決すること。
• 最近の置換多項式およびMOLSに関する結果の、より簡単で一般性の高い証明を提供すること。

提案手法

• 定理1.1を用いる：多項式 $x^r h(x^{(q-1)/(Q-1)})$ が $fiq$ を置換するための必要十分条件は、$∼(r, (q-1)/(Q-1)) = 1$ かつ $g(x) = x^r N(h(x))$ が $fiQ$ を置換することである。ここで $N$ は $fiq$ から $fiQ$ へのノルム写像である。
• $h(x) \in \ufb01Q[x]$ の場合、補題1.2を適用することで、問題を $x^r h(x)^m$ が $fiQ$ を置換するかどうかの確認に還元する。
• $m \equiv 1 \pmod{Q-1}$ の場合、補題1.3を用いることで、条件が $x^{rn} h(x)$ が $fiQ$ を置換することに簡略化される。ここで $mn \equiv 1 \pmod{Q-1}$ である。
• 新しい族を入力として用い、$f(x)$ と $f(x)+x$ が両方とも置換多項式であることを保証することで、完全な置換多項式を構成する。
• 対応関係を用いてMOLSを生成する：置換多項式 $f$ は、$i + f(j)$ を要素とするラテン平方を定義し、$f - g$ が置換であるならば、直交性が保証される。
• 既知のMOLSおよび射影平面に関する結果を活用し、特定の族から得られる多項式によって、$Q^2 - 1$ 個または $Q^3 - 1$ 個の完全なMOLSが構成されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $fiq$ 上の置換多項式は、部分体 $fiQ$ 上の置換多項式から体系的に構成可能か？
• RQ2 $q = Q^m$ のとき、$x^r h(x^{(q-1)/(Q-1)})$ が $fiq$ を置換するための条件は何か？
• RQ3 本手法により、$f(x)$ と $f(x)+x$ が両方とも置換である完全な置換多項式が得られるか？
• RQ4 これらの多項式を用いて完全な相互直交ラテン平方（MOLS）の集合を生成可能か？
• RQ5 この手法により、最近の置換多項式およびMOLSに関する結果の証明が簡略化または一般化可能か？

主な発見

• $fi{Q^m}$ 上の置換多項式の新しい族が、$fiQ$ 上の置換多項式から、$g(x) = x^r N(h(x))$ のノルム条件を用いて構成された。
• $h(x) \in \ufb01Q[x]$ の場合、構成は $x^r h(x)^m$ が $fiQ$ を置換するかどうかの確認に還元され、体系的な生成が可能になる。
• 本手法により、$fi{2^{2^e}}$ 上の完全な置換多項式が得られ、WuとLin（2013）の未解決問題が解決された。
• $Q \not\equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$Q^2 - 1$ 個のMOLSを位数 $Q^2$ で、$Q$ が2のべきのとき $Q^3 - 1$ 個のMOLSを位数 $Q^3$ で構成した。
• 本研究の結果は、Tuら（2013）およびXuら（2014）の最近の定理を一般化し、それらが提案された枠組みの特殊な場合であることを示した。
• 本手法は[12, Thm. 4]をカバーしないが、これは加法群の手法に依存しており、乗法的ノルムアプローチとは異なるクラスの置換多項式が存在する可能性を示唆している。