[論文レビュー] Persistence probabilities for stationary increment processes

Frank Aurzada, Nadine Guillotin‐Plantard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、定常増分を有する離散時間過程の持続確率を推定するための新しい手法を提案する。期待範囲を主要な道具として用い、指数モーメントを必要としないまま、タイトな上界および下界を確立する。特に、分数 Browm運動、ランダム・ウォーク・イン・ランダム・スカイニン、およびランダムな層の向きを有する Z² 上の Matheron-de Marsily モデルに対して、最適なオーダー推定を達成する。

ABSTRACT

We study the persistence probability for processes with stationary increments. Our results apply to a number of examples: sums of stationary correlated random variables whose scaling limit is fractional Brownian motion, random walks in random sceneries, random processes in Brownian scenery, and the Matheron-de Marsily model in Z^2 with random orientations of the horizontal layers. Using a new approach, strongly related to the study of the range, we obtain an upper bound of optimal order in the general case and improved lower bounds (compared to previous literature) for many processes.

研究の動機と目的

• 定常増分を有する過程における持続確率を推定する一般的で非マルコフ的な手法の開発。
• 多様な確率過程にわたる持続指数の鋭い上界および下界の提供。
• 非マルコフ的状況ではしばしば不切な指数モーメントの必要性を排除すること。
• 分数 Browm 運動、ランダム・ウォーク・イン・ランダム・スカイニン、および Matheron-de Marsily モデルへの手法の適用。
• Z² 上でランダムな層の向きを有する Matheron-de Marsily モデルの正確な持続指数の確立；長年の予想の確認。

提案手法

• 持続確率の代理として、最大過程の期待値 E[Zₙ*] を用い、P(Zₙ* ≤ a) ≈ E[Zₙ*]/n が n^o(1) 項まで成り立つことを示す。
• 特に格子値をとる過程において、最大の測定可能な代理として範囲 Rₙ = #{Z₁,…,Zₙ} を活用する。
• スコロホド空間における一様可積分性および弱収束を用いて、スケーリング極限における範囲および最大の極限定理を導出する。
• 条件付き正の相関およびモーメントバウンド（[14] の定理 2.1 を用いて）を用い、ランダムウォーク環境下での最大の成長を制御する。
• Rₙ^(1)/n^{3/4} が Browm 局所時刻の関数に分布収束することを示し、正確な漸近挙動を可能にする。
• 極限定理と最初の通過時刻関係 P(T₀ > n) ≈ c n^{-1/4} を組み合わせ、持続指数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z² 上でランダムな層の向きを有する Matheron-de Marsily モデルの持続指数は何か？
• RQ2 指数モーメントを要件としない非マルコフ過程の持続確率を境界づけることは可能か？
• RQ3 過程の期待範囲はその持続確率とどのように関係するか？
• RQ4 Matheron-de Marsily モデルにおけるゼロへの最初の帰還時刻の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ5 分数 Browm 運動やランダム・ウォーク・イン・ランダム・スカイニンのような過程に対して、統一的な枠組みで持続指数を導出可能か？

主な発見

• Z² 上でランダムな層の向きを有する Matheron-de Marsily モデルにおいて、持続確率は P(max_{k=1,…,n} Mₖ^(1) ≤ -1) ∼ (3/4) × [p / (1−p)^{1/4}] × E[sup_{t∈[0,1]} Δₜ^(0)] × n^{-1/4} と減少し、Redner と Majumdar の予想を確認する。
• Matheron-de Marsily モデルの持続指数は正確に 1/4 であり、範囲および最大のスケーリング極限から導出される。
• Matheron-de Marsily ursu における範囲 Rₙ^(1) は、Rₙ^(1)/n^{3/4} → Kₚ × (sup Δₜ^(0) − inf Δₜ^(0)) として分布収束し、E[Rₙ^(1)]/n^{3/4} → 2Kₚ × E[sup Δₜ^(0)] となる。
• ゼロへの最初の帰還時刻 T₀^(1) に対して、lim_{n→∞} n^{1/4} P(T₀^(1) > n) = (3/2)Kₚ × E[sup_{t∈[0,1]} Δₜ^(0)] が成り立ち、再帰的挙動の正確な漸近を提供する。
• 本手法は、指数モーメントを要件としない最適オーダーの上界を達成し、分数 Browm 運動および他の非マルコフ過程に適用可能である。
• 有界な増分に対して、E[Zₙ*]/n が n^o(1) 要素まで正しい減衰率を捉えるため、正確な持続指数が得られる。