[論文レビュー] Persistent homology and microlocal sheaf theory

Masaki Kashiwara, Pierre Schapira|arXiv (Cornell University)|May 2, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、畳み込みを用いた擬距離を導入することで、持続的ホモロジーと微局所層理論の間に深い接点を確立する。直接像の安定性を証明し、極錐に微局所支持を持つ局所的に構成可能な層は、区分的線形（PL）層によって近似可能であることを示す。主たる貢献は、γ-局所的閉集合による分割に沿って定数となるPL層としての高次元化されたバーコードの一般化であり、古典的な1次元の持続的ホモロジーを多パラメータ設定に拡張するものである。

ABSTRACT

We interpret some results of persistent homology and barcodes (in any dimension) with the language of microlocal sheaf theory. For that purpose we study the derived category of sheaves on a real finite-dimensional vector space V. By using the operation of convolution, we introduce a pseudo-distance on this category and prove in particular a stability result for direct images. Then we assume that V is endowed with a closed convex proper cone $γ$ with non empty interior and study $γ$-sheaves, that is, constructible sheaves with microsupport contained in the antipodal to the polar cone (equivalently, constructible sheaves for the $γ$-topology). We prove that such sheaves may be approximated (for the pseudo-distance) by "piecewise linear" $γ$-sheaves. Finally we show that these last sheaves are constant on stratifications by $γ$-locally closed sets, an analogue of barcodes in higher dimension.

研究の動機と目的

• 持続的ホモロジーとバーコードを微局所層理論の言語で解釈すること。
• 実ベクトル空間 V 内の閉凸有界錐 γ を用いて、1パラメータの持続的ホモロジーを多パラメータ設定に拡張すること。
• 微局所支持が γ の極錐の反対側にある局所的に構成可能な γ-層が、区分的線形（PL）γ-層によって近似可能であることを示すこと。
• γ-局所的閉分割に沿って定数となるPL層としての高次元バーコードを定義し、それらを研究すること。
• 写像の摂動に対して直接像の安定性を、導来畳み込みに基づく擬距離を用いて確立すること。

提案手法

• 実ベクトル空間 V 上の層の導来圏に、層の畳み込みと V 上の所定のノルムを用いて擬距離を定義する。
• 内部が空でない閉凸有界錐 γ を用いて V 上の γ-位相を定義し、γ-層を γ の極錐の反対側に微局所支持を持つ局所的に構成可能な層として定義する。
• γ-層の圏が、γ-位相を備えた V 上の層の導来圏と同値であることを証明する。
• 畳み込みと導来圏の技法を用いて安定性定理を確立する：連続写像 f₁, f₂: X → V に対して、dist(Rf₁*F, Rf₂*F) ≤ ||f₁ − f₂|| が成り立つ。
• 有限個の超平面による分割に沿って局所定数となる層として PL-層を定義し、任意の局所的に構成可能な層がこのような PL-層によって近似可能であることを証明する。
• γ-局所的閉集合による分割に沿って定数となる PL-層として高次元バーコードを構成し、それらが PL-層の圏に埋め込まれるが、一般には同値でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の持続的ホモロジーとバーコードは、微局所層理論の言語でどのように再定式化できるか？
• RQ2 層理論的道具を用いて、1パラメータの持続的ホモロジー枠組みを多パラメータ設定に一般化できるか？
• RQ3 γ-位相と γ-層は、高次元における持続的ホモロジーの構造をどのように組織化するか？
• RQ4 写像の摂動に対する直接像の安定性を捉えるために、層に導来擬距離をどのように定義できるか？
• RQ5 高次元バーコードは PL-層と同値か、それとも埋め込みは真のものか？

主な発見

• 実ベクトル空間 V 上の層の導来圏に、畳み込みを用いて擬距離を定義し、写像の小さな摂動に対する直接像の安定性を実現する。
• 安定性定理は、直接像 Rf₁*F と Rf₂*F の距離が、f₁ − f₂ の作用素ノルムによって上から抑えられることを示す。
• γ の極錐の反対側に微局所支持を持つ V 上の任意の局所的に構成可能な層は、この擬距離において PL-層によって近似可能である。
• PL-層は γ-局所的閉集合に沿って定数であり、これは支持の分割をなす一般化されたバーコードの概念を高次元に拡張する。
• 高次元バーコードは、γ-層に沿って定数となる PL-層として定義されるが、バーコード圏から PL-層圏への埋め込みは一般には同値でない。反例によって示される。
• コンパクトな台を持つ層に対しては、そのような層が γ-層圏におけるバーコードである有界な複体の PL-層と同型であるという予想を提示する。