[論文レビュー] Pfaffian decomposition and a Pfaffian analogue of q-Catalan Hankel determinants

Masao Ishikawa, Hiroyuki Tagawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、歪対称行列に対するLU分解の類似として、Pfaffian分解法を導入し、little q-Jacobi多項式から導かれるq-Catalanモーメント列のPfaffianを評価する応用を行う。主な結果は、q-Catalan Pfaffianのクラスに対して閉形式の積分公式を導出し、それらを重み付きシフト逆平面分割の数え上げと結びつけることである。

ABSTRACT

Motivated by the Hankel determinant evaluation of moment sequences, we study a kind of Pfaffian analogue evaluation. We prove an LU-decomposition analogue for skew-symmetric matrices, called Pfaffian decomposition. We then apply this formula to evaluate Pfaffians related to some moment sequences of classical orthogonal polynomials. In particular we obtain a product formula for a kind of q-Catalan Pfaffians. We also establish a connection between our Pfaffian formulas and certain weighted enumeration of shifted reverse plane partitions.

研究の動機と目的

• 歪対称行列に対するLU分解の類似としてPfaffian分解と呼ぶPfaffianのアナログを考案し、モーメント列のPfaffianを評価すること。
• little q-Jacobi多項式から生じるq-Catalanモーメントを含むPfaffianの閉形式積分公式を導出すること。
• 重み付きシフト逆平面分割の数え上げを通じて、これらのPfaffianの組合せ的解釈を確立すること。
• 古典的直交多項式のモーメント列、特にqアナログにおけるPfaffian恒等式との関係を調査すること。

提案手法

• 歪対称行列に対するPfaffian分解技法を提案し、LU分解を歪対称設定に一般化する。
• 分解の基盤として、Desnanot-Jacobiの随伴行列定理のPfaffian版を用いる。
• q-Dougallの公式を用いて行列積の和を閉形式に還元し、主なPfaffian恒等式を証明する。
• Zeilbergerの創造的消去法を第二の証明として用い、容易に検証可能な単純な証明証明を導出する。
• モーメント定義における内積に類似した重みを用いて、シフト逆平面分割の重み付き数え上げを定義する。
• q級数恒等式を介して、Pfaffianと重み付き平面分割の母関数を関連づけ、積分公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーメント列のPfaffianを評価するために、LU型分解を歪対称行列に一般化できるか。
• RQ2 q^{i-1} - q^{j-1} の形の項を含む Pf((q^{i-1} - q^{j-1})μ_{i+j+r-2}(q)) の形のPfaffianに対して、閉形式の積分公式は存在するか。
• RQ3 これらのPfaffian恒等式は、シフト逆平面分割のような組合せ的対象とどのように関係しているか。
• RQ4 なぜこれらのPfaffianが単純な一次式の積に分解されるのか。背後に直交多項式のより深い説明があるのか。

主な発見

• 歪対称行列に対するPfaffian分解公式が確立され、これはLU分解に類似しており、モーメント列のPfaffian評価を可能にする。
• little q-Jacobi多項式のモーメント μ_n(q) を含む Pf((q^{i-1} - q^{j-1})μ_{i+j-2}(q))_{1≤i,j≤2n} のPfaffianに対して、閉形式の積分公式が導出された。
• Pfaffianの公式は、q-シフト・ファクタリアルと二項係数に類似した項を含む、qに関する有理関数の積として与えられる。
• 主な結果を用いて、偶数行を持つシフト逆平面分割の重み付き数え上げ公式が導出され、その重みは内積構造と一致する。
• Zeilbergerの創造的消去法による別証明が提供され、手作業による恒等式の検証が可能な単純な証明証明が得られた。
• 3-Catalan数を含む類似Pfaffianについての予想が提示され、Pfaffian評価におけるより広範なパターンの存在を示唆している。