[論文レビュー] Pfaffian Stochastic Dynamics of Strict Partitions

Leonid Petrov|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 66被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Borodinの行列式測度を保存する厳密部分集合（相異なる部品）上の連続時間マコフ跳躍過程の族を導入する。Pfaffian相関関数と超幾何関数を用いて、静的および動的相関核の明示的公式を導出し、従来の行列式モデルとは異なる新規の定常Pfaffian動的モデルを確立する。

ABSTRACT

We study a family of continuous time Markov jump processes on strict partitions (partitions with distinct parts) preserving the distributions introduced by Borodin (1997) in connection with projective representations of the infinite symmetric group. The one-dimensional distributions of the processes (i.e., the Borodin's measures) have determinantal structure. We express the dynamical correlation functions of the processes in terms of certain Pfaffians and give explicit formulas for both the static and dynamical correlation kernels using the Gauss hypergeometric function. Moreover, we are able to express our correlation kernels (both static and dynamical) through those of the z-measures on partitions obtained previously by Borodin and Olshanski in a series of papers. The results about the fixed time case were announced in the author's note arXiv:1002.2714. A part of the present paper contains proofs of those results.

研究の動機と目的

• 厳密部分集合上にBorodinの確率測度を保存する連続時間マコフ跳躍過程を構成すること。
• Pfaffianの形で表される動的相関関数の明示的公式を導出すること。
• 静的および動的相関核をガウス超幾何関数を用いて表現すること。
• 新しい核がz-測度の核とランク1の摂動構造によって関係づけられることを示すこと。
• 確率的分割の文脈において、初めての定常Pfaffian確率的ダイナミクスの例を確立すること。

提案手法

• Borodinの測度が厳密部分集合上で示す一貫性の性質（Borodin-Olshanskiダイナミクスと類似）を用いる。
• 状態空間を正の整数上の有限点配置としてモデル化し、測度族を保存するダイナミクスを導入する。
• 動的相関関数を、ガウス超幾何関数を含む核関数 $\boldsymbol{\Phi}_{\alpha,\xi}(s,x;t,y)$ のPfaffianとして表現する。
• 対合と正の関数 $f$ を用いた新規な還元技術により、Pfaffian構造を行列式に還元する。
• 静的核 $\mathbf{K}_{\alpha,\xi}(x,y)$ を $\ell^2(\mathbb{Z})$ 内の射影演算子のランク1摂動として導出する。
• SL(2,$\mathbb{C}$)$^n$-作用を用いた変換により、歪対称Pfaffian行列を行列式還元に適したブロック形式に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Borodinの測度を保存し、Pfaffian相関構造を示すような、厳密部分集合上に定常マコフ過程を構成できるか？
• RQ2 このような過程の動的相関関数は、z-測度のような行列式モデルのそれらとどのように異なるか？
• RQ3 空間時間相関を支配する拡張核 $\boldsymbol{\Phi}_{\alpha,\xi}(s,x;t,y)$ の明示的形は何か？
• RQ4 静的Pfaffian核は、既知のz-測度の行列式核とどのように関係しているか？
• RQ5 適切な変換によりPfaffian構造を行列式に還元できるか？その条件は何か？

主な発見

• マコフ過程の動的相関関数は、ガウス超幾何関数で明示的に与えられる核 $\boldsymbol{\Phi}_{\alpha,\xi}(s,x;t,y)$ のPfaffianとして表現される。
• 静的相関関数は行列式形式に還元され、核 $\mathbf{K}_{\alpha,\xi}(x,y)$ は $\mathbb{Z}_{>0}$ 上の明示的な超幾何型関数である。
• 静的核 $\mathbf{K}_{\alpha,\xi}$ は射影演算子ではないため、z-測度の核とは区別される。
• 核 $\boldsymbol{\Phi}_{\alpha,\xi}(s,\cdot;s,\cdot)$ は $\ell^2(\mathbb{Z})$ 上で、正規直交射影演算子のランク1摂動である。
• 対合と正の関数 $f$ を用いた変換によりPfaffian核は行列式に還元され、結果として得られる核 $K(u,v)$ は $F(u,\hat{v})$ と $f(u)$ を含む有理関数として与えられる。
• 本モデルは、確率的分割の文脈において、初めての定常（時不変）Pfaffian確率的ダイナミクスの例を提供する。これは、従来の時不変でないモデルとは対照的である。