[論文レビュー] Phase Space and Quantization of 2D BF Theory Coupled to 1D Quantum Mechanics

Seyed Faroogh Moosavian, Yehao Zhou|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、GL_Nゲージ群を有する2次元BF理論と、GL_Kグローバル対称性を有する1次元量子力学を結合させた系の位相空間とその正準化を研究し、ゲージ不変な観測量の古典的および量子代数を構成する。位相空間のN→∞極限は正規アフィン多様体として特定され、量子化代数は3次元N=4クワーバーゲージ理論のクーロン枝と一致し、変形正準化がコプロダクトを介してヤング推移的構造を実現することを示し、ねじれ holography の有限N版の定式化を提供する。

ABSTRACT

We study ring of functions on the (classical and quantized) phase space of 2-dimensional BF theory with the gauge group $\mathrm{GL}_N$ coupled to a 1-dimensional quantum mechanics with global symmetry $\mathrm{GL}_K$. These functions are gauge-invariant local observables of the coupled system. We first construct the classical phase space of this system and describe its ring of functions and their large-$N$ limit. We next compute the Hilbert series of these algebras for finite-$N$ and also in the large-$N$ limit. We then study the quantization of this phase space and the deformation quantization of its ring of functions, elaborate its relation to the Yangian, and construct its coproduct. Finally, we identify these quantized algebras with the quantized Coulomb branch algebras of certain 3-dimensional $\mathcal{N}=4$ quiver gauge theories.

研究の動機と目的

• 2次元BF理論とGL_Kグローバル対称性を有する1次元量子力学を結合させた系の古典的位相空間を特徴づけ、そのゲージ不変関数の代数を同定する。
• 有限NおよびN→∞極限における古典的および量子代数のヒルベルト級数を計算する。
• 位相空間の変形正準化とヤンガ代数との関係を研究し、コプロダクトの構成を含む。
• 量子化代数を3次元N=4クワーバーゲージ理論のクーロン枝代数と同定する。
• 有限Nの代数をあるイデアルによる商として大Nヤンガ代数に写すことで、ねじれ holography の有限N定式化を提供する。

提案手法

• 位相空間M(N,K)を(B, ψ, ψ̄)でパrameter化する正規アフィン多様体として構成し、次元は2NKとする。
• C[M(N,K)]を生成する関数の環としてTr(B^n)およびψ̄B^nψを同定し、M(N,1) ≅ A^{2N}であることを示し、M(N,K)をK^2個のM(N,1)の積へ埋め込む写像η_abを用いる。
• ψ_ia, ψ̄_bjの間に{ψ_ia, ψ̄_bj} = δ_ab δ_ij、B_mn, B_pqの間に{B_mn, B_pq} = δ_pn B_mq - δ_mq B_pnという標準的ブラケットを持つ、M(N,K)上のポアソン構造を定義する。
• 変形正準化により、量子代数C_ħ[M(N,K)]を導出し、これがコプロダクトを備え、gl_Kのヤンガ代数を実現することを示す。
• 幾何的表現論を用いて、アフィングラスマンジャンに沿った局在化により、量子化代数を3次元N=4クワーバーゲージ理論のクーロン枝と同定する。
• P^{n-1}上での局在化技術を適用し、K理論的不変量を計算し、ラインバンドルの畳み込み作用が Jing 演算子S^q_mに対応することを示し、マクドナルド多項式の幾何的実現を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限Nにおける2次元BF理論と1次元量子力学を結合させた系の古典的位相空間は、代数的多様体としてどのように構造化されるか？
• RQ2 有限Nおよび大N極限におけるゲージ不変観測量の代数のヒルベルト級数は何か？
• RQ3 位相空間の変形正準化はどのようにgl_Kのヤンガ代数を実現するのか？コプロダクトの役割は何か？
• RQ4 量子化代数は3次元N=4クワーバーゲージ理論のクーロン枝代数とどのように関係するか？
• RQ5 大Nヤンガ代数極限を、有限N代数のイデアルによる商として理解できるか？これにより、ねじれ holography の有限N定式化が可能になるか？

主な発見

• 古典的位相空間M(N,K)は次元2NKの正規アフィン多様体であり、M(N,1) ≅ A^{2N}であり、写像η_abを用いてK^2個のM(N,1)の積へ埋め込まれる。
• M(N,K)上の関数環はTr(B^n)およびψ̄B^nψによって生成され、Tr(B^n)はヒルベルト空間内での重力子に、det(B^n)はねじれ holography の内部におけるジャイアント重力子に双対する。
• M(N,K)上のポアソン構造はψ, ψ̄, B間の標準的ブラケットで定義され、変形正準化により、コプロダクトを備えた量子代数が得られ、これはgl_Kのヤンガ代数に同型である。
• C_ħ[M(N,K)]は幾何的サタケおよびアフィングラスマンジャンへの局在化により、3次元N=4クワーバーゲージ理論のクーロン枝代数と同定される。
• アフィングラスマンジャン上でのラインバンドルの畳み込み作用はJing演算子S^q_mを実現し、軌道閉包Gr^{Nω_1}上の構造層の特性類はマクドナルド多項式H_{(k^N)}(x;q)を計算する。
• 有限N代数およびその大N極限のヒルベルト級数が計算され、大N極限でヤンガ代数に収束することが示された。