[論文レビュー] Phaseless Sampling and Linear Reconstruction of Functions in Spline Spaces

Wenchang Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Optical measurement and interference techniques参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の knot を持つ B-spline によって生成される実および複素スプライン空間における位相なしサンプリングおよび線形再構成の必要十分条件を確立する。本稿は、複素スプライン空間では $ f $ と $ \overline{f} $ の間の二義性のため完全な位相再構成が不可能であるが、$ |f(x)|^2 $ はサンプル強度から一意的かつ線形に再構成可能であり、明示的な再構成式と有限次元線形代数による安定性保証が得られる。

ABSTRACT

We study phaseless sampling in spline spaces generated by B-splines with arbitrary knots. For real spline spaces, we give a necessary and sufficient condition for a sequence of sampling points to admit a local phase retrieval of any nonseparable function. We also study phaseless sampling in complex spline spaces and illustrate that phase retrieval is impossible in this case. Nevertheless, we show that phaseless sampling is possible. For any function $f$ in a complex spline space, no mater it is separable or not, we show that $|f(x)|^2$ is uniquely determined and can be recovered linearly from its sampled values at a well chosen sequence of sampling points. We give necessary and sufficient conditions for such sequences.

研究の動機と目的

• 実スプライン空間における非分離関数の局所的再構成（符号を除く）を可能にする位相なしサンプリング列の特定。
• 複素スプライン空間において位相再構成が可能かどうかの調査。ここで $ f $ と $ \overline{f} $ は同一の強度測定値をもたらす。
• 複素スプライン空間における $ |f(x)|^2 $ がサンプル強度値から線形に再構成可能な条件の確立。
• 実および複素設定の両方において、線形サンプリング列を用いた明示的な再構成式の提供および安定性の証明。

提案手法

• 位相なしサンプリング列を、符号を除いて非分離関数を絶対値サンプル $ |f(x_n)| $ から一意に特定できるものとして定義する。
• 任意の knot 列および変動する重複度を有する B-spline 基底関数を用いてスプライン空間 $ \mathcal{V}_m $ および $ \mathcal{W}_m $ をモデル化する。
• 空間 $ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ の次元を $ M_k = m(k+1) + 1 + \sum_{i=1}^k m_i $ として特徴づける。ここで $ m_i $ は knot $ t_i $ における重複度である。
• 各区間 $ (t_i, t_{i+1}) $ において高々 $ 2m $ 次の多項式であり、knot における連続性および滑らかさ制約を満たすような、$ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ の基底 $ \mathcal{P}_k $ を構成する。
• 再構成を線形系として定式化する：$ F = \Phi c $ において、$ F $ はサンプルされた $ |f(x_n)|^2 $ を含み、$ \Phi $ は基底評価値の行列であり、$ c $ は $ c = (\Phi^t \Phi)^{-1} \Phi^t F $ により解かれる。
• $ |f(x)|^2 $ を $ |f(x)|^2 = \sum_{n=1}^N |f(x_n)|^2 S_n(x) $ により回復する。ここで $ S_n(x) $ は $ \Phi (\Phi^t \Phi)^{-1} (h_1, \dots, h_{M_k})^t $ から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サンプリング列 $ \{x_n\} $ が満たすべき条件は何か？ これにより、実スプライン空間における非分離関数の符号を除く局所的位相なし回復が可能となるか？
• RQ2 複素スプライン空間では、$ f $ と $ \overline{f} $ が同一の強度データをもたらすため、位相再構成が可能か？
• RQ3 複素スプライン空間において、位相なしサンプルから $ |f(x)|^2 $ を線形に再構成可能か？ その場合、どのような条件下で可能か？
• RQ4 空間 $ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ の次元は何か？ そして knot 列および重複度とどのように関係するか？
• RQ5 サンプル強度値から $ |f(x)|^2 $ の明示的線形再構成式をどのように導出できるか？

主な発見

• 実スプライン空間においては、サンプリング列 $ \{x_n\} $ が非分離関数の符号を除く局所的位相なし回復を可能にするための必要十分条件は、対応する行列 $ \Phi $ がフル・カラム・ランク $ M_k $ を持つことである。ここで $ M_k = m(k+1) + 1 + \sum_{i=1}^k m_i $ である。
• 複素スプライン空間 $ \mathcal{W}_m $ においては、$ f $ と $ \overline{f} $ が強度測定から区別できないため、位相再構成は不可能である。
• しかし、$ |f(x)|^2 $ は、実の場合と同様のランク条件を満たすサンプリング列であれば、一意的かつ線形に再構成可能である。
• 空間 $ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ の次元は $ M_k $ であり、修正された knot 重複度 $ \tilde{m}_i = m + m_i $ を持つ $ 2m $ 次の B-spline の空間と同型である。
• 再構成は安定かつ線形である：$ |f(x)|^2 = \sum_{n=1}^N |f(x_n)|^2 S_n(x) $ であり、$ S_n $ はサンプリング行列 $ \Phi $ の一般化逆行列から計算可能である。
• 再構成式は基底関数 $ h_i $ を用いて明示的に導出され、係数 $ c $ は $ c = (\Phi^t \Phi)^{-1} \Phi^t F $ により解かれる。これにより一意性および安定性が保証される。