[論文レビュー] Piecewise structure of Lyapunov functions and densely checked decrease conditions for hybrid systems

Matteo Della Rossa, Rafal Goebel+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 43被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、ハイブリッド力学系の安定性解析を可能にする、区分的構造的で局所リプシッツ連続なリャプノフ関数のクラスを導入する。この手法により、非微分可能点での点ごとのチェックを回避し、フロー集合の稠密部分集合でのみリャプノフ減少条件を検証すればよい。主な貢献は、クラーク一般化勾配条件よりも制限が少ない代替条件を提示したことであり、標準的な条件が境界で失敗する場合でも有効であることが示された。

ABSTRACT

We propose a class of locally Lipschitz functions with piecewise structure for use as Lyapunov functions for hybrid dynamical systems. Subject to some regularity of the dynamics, we show that Lyapunov inequalities can be checked only on a dense set and thus we avoid checking them at points of nondifferentiability of the Lyapunov function. Connections to other classes of locally Lipschitz or piecewise regular functions are also discussed and applications to hybrid dynamical systems are included.

研究の動機と目的

• ハイブリッドシステムに適した、区分的構造を持つ局所リプシッツ連続なリャプノフ関数のクラスを開発すること。
• フロー集合の稠密部分集合でのみリャプノフ減少条件を検証することで、安定性の検証を可能にし、微分不可能点を回避すること。
• 古典的なクラーク勾配に基づくアプローチよりも制限が少ない安定性条件を提供すること。
• これらの関数を用いて、ハイブリッドシステムにおける一様グローバル漸近的安定性（UGAS）の十分条件を確立すること。
• 2次元系に対して非凸および凸のリャプノフ関数を明示的に構成すること。

提案手法

• C1級関数の点ごとの最大値および最小値から構成される、局所リプシッツ連続関数のクラスを導入し、区分的二次形式を一般化する。
• 動的システムFの正則性仮定のもとで、リャプノフ減少不等式をフロー集合Cの稠密部分集合でのみ検証すれば十分であることを確立する。
• 正則化および畳み込み技術を用いて、非滑らかさの挙動を分析し、稠密チェック条件を支援する。
• CでのフローとDでのジャンプを有するハイブリッドシステムにフレームワークを適用し、Cにおける稠密チェック条件とDにおける標準的ジャンプ条件を組み合わせる。
• 逆リャプノフ定理およびクラーク一般化勾配の性質を用いて、新規条件と既存の条件を比較する。
• 明示的例を構築：2つの不定二次形式のmax、3つの二次形式のmid、および接線による貼り合わせによる凸化バージョン。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リャプノフ減少条件をフロー集合の稠密部分集合でのみ検証でき、微分不可能点を回避できるか？
• RQ2 提案された条件は、クラーク一般化勾配条件と比べてどの程度制限が少ないか？
• RQ3 このアプローチは、不連続な動的システムおよび状態依存スイッチングを有するハイブリッドシステムに適用可能か？
• RQ4 非凸および凸のリャプノフ関数を、稠密チェック条件を満たすように構成可能か？
• RQ5 フロー集合の境界でリャプノフ関数を貼り合わせることで、クラーク条件に依存せずに安定性の検証を保てるか？

主な発見

• 提案されたリャプノフ関数により、フロー集合Cの稠密部分集合でのみ減少条件を検証することで安定性の検証が可能となり、微分不可能点を回避できる。
• クラーク勾配に基づくアプローチよりも制限が少ない条件をもたらし、特に境界で標準的条件が失敗する場合に顕著に有効である。
• ε=0.1の2次元系において、すべての3つの構築済みリャプノフ関数—V_M、V_mid、およびV_conv—が補題1の条件を満たし、原点のUGASを証明した。
• クラーク条件がCの境界であるx₁=0上ですでに失敗しているにもかかわらず、本手法は依然としてUGASを確立しており、境界問題に対するロバストネスを示している。
• 凸リャプノフ関数V_convは、V_midを境界で接する二次形式で貼り合わせることで構築され、連続性が保たれるとともに稠密チェック条件を満たしている。
• 既存の文献における知られた制限を解消するため、境界での直感的な貼り合わせがクラーク条件に依存せず正当化可能であることが結果から示された。