[論文レビュー] Planar Contact Structures with Binding Number Three

M. Firat Arikan|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、境界成分が3つの平面的オープンブックによって支持される接触3次元多様体を分類し、モノドロミー写像を用いてねじれ構造とタイト構造を特定する。接触構造の同相型の完全なリストを提示し、第一チーン類と$d_3$不変量を用いてそれらを区別し、タイト性がモノドロミーにおける非負のデーンねじれ指数にちょうど一致することを証明する。

ABSTRACT

In this article, we find the complete list of all contact structures (up to isotopy) on closed three-manifolds which are supported by an open book decomposition having planar pages with three (but not less) boundary components. We distinguish them by computing their first Chern classes and three dimensional invariants (whenever possible). Among these contact structures we also distinguish tight ones from those which are overtwisted.

研究の動機と目的

• 境界数が3の接触3次元多様体を同相型で分類すること。
• このクラスにおけるタイト構造とねじれ構造を、位相的不変量を用いて区別すること。
• 分類に含まれる各接触構造について、第一チーン類と$d_3$不変量を計算すること。
• 平面的ページと3つの境界成分を持つオープンブックによって支持される接触構造の完全なリストを確立すること。
• モノドロミー写像がタイトまたはねじれの接触構造をもたらす条件を特定すること。

提案手法

• 境界に平行な曲線$a$、$b$、$c$に沿ったデーンねじれ$D_a^p D_b^q D_c^r$を用いて、境界成分が3つの平面的オープンブックのモノドロミー写像をパrameter化する。
• 各モノドロミー写像に対応する接触手術図を用いて接触構造を構成する。
• ギルーザ対応定理を用いてオープンブック分解と接触構造を関連付ける。
• ペイオント・レフシェッツ双対性とリンク行列内のミレジアン類を用いて、第一チーン類$c_1(\xi)$を計算する。
• リンク行列から得られるスティーン・フィリングの符号数とオイラー標数を用いて、$d_3$不変量を計算する。
• 有限$H_1$をもつ場合に、公式$d_3(\xi) = \frac{8pqr + p^2q + p^2r + 4pq^2 + 4qr^2 - pr^2 - q^2r - pq - pr - qr}{4pq + 4pr + 4qr}$を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界数が3の接触3次元多様体の完全なリストは何か、同相型で。
• RQ2 これらの接触構造の中で、どの構造がタイトで、どの構造がねじれか。
• RQ3 このような接触構造について、第一チーン類と$d_3$不変量をどのように計算できるか。
• RQ4 モノドロミー写像$D_a^p D_b^q D_c^r$にどのような条件が成り立つとタイト性が成立するか。
• RQ5 同一の3次元多様体上での接触構造を区別するための不変量$c_1$と$d_3$は、それぞれどのように機能するか。

主な発見

• 境界成分が3つの平面的オープンブックによって支持される接触構造は、すべて接触同相型として$Y(p,q,r)$に同相であり、手術図によって与えられる接触構造$\xi_{p,q,r}$に一致する。
• 接触構造$\xi_{p,q,r}$は、$p \geq 0$、$q \geq 0$、$r \geq 0$であることと、ちょうど同じくタイト（および特異的可解）である。
• もし$p$、$q$、$r$がすべて非負でない場合、$\xi_{p,q,r}$はねじれ構造である。
• 第一チーン類は、$c_1(\xi_{p,q,r}) = PD^{-1}(|r| \mu_1)$を満たす。ここで$\mu_1$は$r$族のミレジアン類である。
• 有限$H_1$をもつ場合、$d_3$不変量は有理関数$d_3(\xi_{p,q,r}) = \frac{8pqr + p^2q + p^2r + 4pq^2 + 4qr^2 - pr^2 - q^2r - pq - pr - qr}{4pq + 4pr + 4qr}$で与えられる。
• リンク行列の行列式が0である場合、$H_1$は無限大であり、$d_3$は$c_1$が torsion でない限り定義されない。この場合、特別な取り扱いが要請される。