[論文レビュー] Plates with incompatible prestrain of higher order

Marta Lewicka, A. Raoult+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2015

Advanced Materials and Mechanics参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、高次の不適合な初期歪みを有する薄板のスケーリングされた弾性エネルギーの $γ$-極限を確立し、$E^h \sim h^4$ の領域において、極限エネルギーが von Kármán 型であり、1次無限小等長写像および $\mathbb{R}^3$ への $G_{2\times 2}$ の等長埋め込みに適する歪みに依存することを示している。さらに、$h^{-2}\inf E^h \to 0$ ならば $h^{-4}\inf E^h$ が有界であり、$h^{-4}\inf E^h \to 0$ であるための必要十分条件は $G$ が $\mathbb{R}^3$ に実現可能であることである。これはすべての $h$ に対して $\min E^h = 0$ を意味する。このことから、このスケーリング領域において von Kármán モデルが唯一の非自明な残渣理論であることが特定される。

ABSTRACT

We study the effective elastic behaviour of the incompatibly prestrained thin plates, characterized by a Riemann metric $G$ on the reference configuration. We assume that the prestrain is "weak", i.e. it induces scaling of the incompatible elastic energy $E^h$ of order less than $h^2$ in terms of the plate's thickness $h$. We essentially prove two results. First, we establish the $Γ$-limit of the scaled energies $h^{-4}E^h$ and show that it consists of a von Kármán-like energy, given in terms of the first order infinitesimal isometries and of the admissible strains on the surface isometrically immersing $G_{2 imes 2}$ (i.e. the prestrain metric on the midplate) in $\mathbb{R}^3$. Second, we prove that in the scaling regime $E^h\sim h^β$ with $β>2$, there is no other limiting theory: if $\inf h^{-2} E^h o 0$ then $\inf E^h\leq Ch^4$, and if $\inf h^{-4}E^h o 0$ then $G$ is realizable and hence $\min E^h = 0$ for every $h$.

研究の動機と目的

• 高次の不適合な初期歪みを有する薄板の有効な弾性挙動を特徴づけること、特に弾性エネルギーが $E^h \sim h^4$ にスケーリングする場合に限る。
• スケーリングエネルギー $h^{-4}E^h$ の $γ$-極限を確立し、それが von Kármán 型汎関数としての構造を有することを同定すること。
• エネルギーが $h^4$ よりも小さいスケーリングとなるための必要十分条件を特定すること。$h^{-4}\inf E^h \to 0$ であるための必要十分条件は、初期歪み計量 $G$ が $\mathbb{R}^3$ に実現可能であることである。
• 条件 $\inf h^{-2}E^h \to 0$ の下で、$E^h \sim h^\beta$ かつ $\beta > 2$ の場合に von Kármán モデル以外の極限理論が存在しないことを示すこと。

提案手法

• $h \to 0$ の極限において、スケーリングエネルギー $h^{-4}E^h$ の $γ$-収束を用いて極限を導出すること。
• 初期歪み計量 $G_{2\times 2}$ のリーマン曲率テンソルを用いて、不適合性を特徴づけるために $E^h$ の下界を導出すること。
• 単位分割を用いた回復列の構成と、$SO(3)$ 内の回転場および歪み場による局所的変形の近似。
• $SO(3)$ に留まるように回転場を保つために、$\mathbb{P}_{SO(3)}$ の射影を適用し、変形勾配の直交性を維持すること。
• $h$ と $2h$ の半径の球を用いた被覆論法により、局所的な推定をし、回転場の勾配の $L^2$-ノルムを制御すること。
• 局所平均による回転場による変形勾配の近似誤差を、重み付き $L^2$-ノルムおよび Poincaré 型不等式を用いて推定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギーが $E^h \sim h^4$ にスケーリングするとき、不適合な初期歪みを有する薄板の極限弾性エネルギーは何か？
• RQ2 スケーリングエネルギー $h^{-4}E^h$ が 0 に収束するための条件は何か？ そしてこれは初期歪み計量 $G$ にどのような意味をもたらすか？
• RQ3 $E^h \sim h^\beta$ かつ $\beta > 2$ の場合に、von Kármán モデルが唯一の非自明な極限理論であるか？
• RQ4 初期歪み計量 $G$ の曲率は、弾性エネルギーのスケーリングおよび非自明な極限の存在にどのように影響するか？
• RQ5 $\mathbb{R}^3$ に初期歪みが実現可能でない限り、エネルギーが $h^4$ よりも小さくスケーリングできるか？

主な発見

• $h^{-4}E^h$ の $γ$-極限は、1次無限小等長写像および $G_{2\times 2}$ の $\mathbb{R}^3$ への等長埋め込みに適する歪みに依存する von Kármán 型エネルギー汎関数である。
• $\inf h^{-2}E^h \to 0$ ならば $h^{-4}\inf E^h$ は有界であり、これは $E^h \sim h^4$ が非自明な最小スケーリングであることを示唆する。
• $h^{-4}\inf E^h \to 0$ ならば、初期歪み計量 $G$ は $\mathbb{R}^3$ に実現可能であり、すべての $h$ に対して $\min E^h = 0$ である。
• 逆に、$G$ が実現可能でなければ $\inf h^{-4}E^h > 0$ であり、ある $C > 0$ に対して $E^h \geq Ch^4$ が成り立ち、von Kármán モデルが唯一の非自明な極限である。
• $E^h \sim h^\beta$ かつ $\beta > 2$ の場合に、von Kármán モデル以外の極限理論は存在せず、これはユークリッドの場合とは対照的であり、その場合複数のスケーリングが異なるモデルを生じる。
• 計量 $G$ の曲率テンソルは不適合性を決定づけ、断面曲率（薄い方向を含む・含まないを問わず）が同時に消えることにより、2つのスケーリング領域が特徴づけられる。