[論文レビュー] Poincaré type inequalities for group measure spaces and related transportation cost inequalities

Qiang Zeng|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、直交群表現に関連する群測度空間 $L_\infty(\Omega_H,\gamma)\rtimes G$ に対して、非可換リーマン変換および乗数論を用いて、定数 $C\sqrt{p}$ を持つ $L_p$ ポincare 不等式を確立する。非可換設定における鋭い輸送コスト不等式を導出し、リエッフェルのコンパクトな量子メトリック空間の新しい例を提供するとともに、分散推定技法を拡張する。

ABSTRACT

Let $G$ be a countable discrete group with an orthogonal representation $α$ on a real Hilbert space $H$. We prove $L_p$ Poincaré inequalities for the group measure space $L_\infty(Ω_H,γ) times G$, where both the group action and the Gaussian measure space $(Ω_H, γ)$ are associated with the representation $α$. The idea of proof comes from Pisier's method on the boundedness of Riesz transform and Lust-Piquard's work on spin systems. Then we deduce a transportation type inequality from the $L_p$ Poincaré inequalities in the general noncommutative setting. This inequality is sharp up to a constant (in the Gaussian setting). Several applications are given, including Wiener/Rademacher chaos estimation and new examples of Rieffel's compact quantum metric spaces.

研究の動機と目的

• 直交群表現から生じる群測度空間に関連する非可換 $L_p$ 空間に対して、定数 $C\sqrt{p}$ を持つ $L_p$ ポincare 不等式を確立すること。
• これらの $L_p$ ポincare 不等式から一般非可換設定における輸送コスト不等式を導出し、ガウス型の場合に定数の意味で鋭いことを示すこと。
• 導出された不等式と半群論を用いて、リエッフェルのコンパクトな量子メトリック空間の新しい例を提供すること。
• 非可換フレームワークにおいて、新しい不等式を用いてウィener およびラデマッハ分散推定技法を拡張すること。

提案手法

• 可換な離散群 $G$ と実ヒルベルト空間 $H$ 上の直交表現 $\alpha$ から、自然なトレースを備えた群測度空間 $L_\infty(\Omega_H,\gamma)\rtimes G$ を構成する。
• 交叉積上に、$T_t = P_t \otimes \text{id}_{\ell_2(G)}$ として定義されるオルンシュタイン＝ウーレンバック半群を定義し、これは群測度空間上で標準的な半群に制限される。
• 非可換リーマン変換理論および完全有界マルチプライヤーを用いて、$x - E_{\text{Fix}}x$ の $L_p$ ノルムを、$C\sqrt{p}$ 倍の $\Gamma_A(x,x)^{1/2}$ の $L_p$ ノルムで上から抑え込む。
• 半群論およびスペクトル推定（例えば、急速な $s$-減衰や長さ関数 $\psi(g)$ の下界）を用いて、解のコンパクト性を示し、$L_p$ ポincare 不等式を確立する。
• 双対性および非可換 $L_p$ ノルム推定を用いて、$L_p$ ノルムのずれと勾配形式との関係を活用し、$L_p$ ポincare 不等式から輸送コスト不等式を導出する。
• 古典的および非可換確率論における既知の結果と比較することで、ガウス設定において、得られた不等式が定数の意味で鋭いことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交群表現から構成される群測度空間に対して、定数 $C\sqrt{p}$ を持つ $L_p$ ポincare 不等式を確立できるか？
• RQ2 このような $L_p$ ポincare 不等式は非可換輸送コスト不等式を導くことができ、ガウス型の場合にその不等式が定数の意味で鋭いか？
• RQ3 導出された不等式から、リエッフェルのコンパクトな量子メトリック空間の新しい例をどのように構成できるか？
• RQ4 これらの不等式は、非可換 $L_p$-空間におけるウィナーおよびラデマッハ分散推定理論をどのように拡張するか？

主な発見

• 本稿は、群測度空間 $L_\infty(\Omega_H,\gamma)\rtimes G$ 上で、$2 \leq p < \infty$ に対して $\|x - E_{\text{Fix}}x\|_p \leq C\sqrt{p} \max\{\|\Gamma_A(x,x)^{1/2}\|_p, \|\Gamma_A(x^*,x^*)^{1/2}\|_p\}$ の形の $L_p$ ポincare 不等式を証明する。
• 導出された輸送コスト不等式は、ガウス設定において定数の意味で鋭く、既知の対数的ソボレフ不等式からポincare型不等式への拡張を実現する。
• 急速な $s$-減衰および正の長さ関数の条件下で、半ノルム $\|f\|_{\Gamma,\alpha} = \max\{\|\Gamma_A(f,f)^{1/2}\|_\alpha, \|\Gamma_A(f^*,f^*)^{1/2}\|_\alpha\}$ を用いて、リエッフェルのコンパクトな量子メトリック空間の新しい例を構成する。
• 証明は非可換リーマン変換の有界性およびスペクトル推定に依拠しており、$A^{-1/2}: L_p^0 \to L_\infty^0$ が $p$ が十分に大きいときコンパクトであることを示し、量子メトリック位相における単位球の相対コンパクト性を示す。
• エフライムおよびルスト＝ピカールのウォルシュ系およびCAR代数に対する $L_p$ ポincare 不等式を、非可換群測度空間設定へ一般化する。
• 本フレームワークは、$C\sqrt{p}$ を定数とする $L_p$ ポincare 不等式を用いて、非可換 $L_p$-空間におけるウィナーおよびラデマッハ分散推定を体系的に行う手法を提供する。