[論文レビュー] Pointwise recurrence for commuting measure preserving transformations

Idris Assani|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、確率空間上の可換な測度保存変換に対して、非伝統的エルゴード平均のほとんど everywhere での逐次収束を確立する。動的システムモデルと不変測度に基づく独自のアプローチを用いて、有界関数 $f_i$ に対して形式 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\prod_{i=1}^{H}f_i(T_i^n x)$ の平均が a.e. 収束することを証明し、エルゴード理論における長年の未解決問題を解決するとともに、ブルーゲンの二重再帰定理の新たな証明を提供する。

ABSTRACT

Let $(X,\mathcal{A}, μ)$ be a probability measure space and let $T_i,$ $1\leq i\leq H,$ be commuting invertible measure preserving transformations on this measure space. We prove the following pointwise results; The averages $$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T_1^nx)f_2(T_2^nx)\cdots f_H(T_H^nx)$$ converge a.e. for every function $f_i \in L^{\infty}(μ)$ .\\ As a consequence if $T_i = T^i$ for $1\leq i \leq H$ where $T$ is an invertible measure preserving transformation on $(X, \mathcal{A}, μ)$ then the averages $$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^nx)f_2(T^{2n}x)...f_H(T^{Hn}x)$$ converge a.e. This solves a long open question on the pointwise convergence of nonconventional ergodic averages. For $H=2$ it provides another proof of J. Bourgain's a.e. double recurrence theorem.

研究の動機と目的

• 複数の可換な測度保存変換を含む非伝統的エルゴード平均のほとんど everywhere での逐次収束を確立すること。
• 形式 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f_1(T^{n}x)\cdots f_H(T^{Hn}x)$ の平均の逐次収束に関する長年の未解決問題を解くこと。
• 特徴的因子や一様ウィーナー＝ウィンナー推定を用いない、J. ブルーゲンの a.e. 二重再帰定理の別証明を提供すること。
• 分解技術を用いて、自由作用から一般の可換な測度保存系への収束結果の拡張を行うこと。

提案手法

• B. ワイスの同型定理を用いて、元の測度保存系をコンパクトな距離空間上の最小的・自由な $\mathbb{Z}^H$-作用としてモデル化する。
• 変換 $\Phi(z) = (T_1 z_1, \dots, T_H z_H)$ の繰り返しによる対角測度 $\mu_\Delta$ の押し出しの重み付き和として定義される、$X^H$ 上の確率測度 $\nu$ を導入する。
• 最大エルゴード定理と最大不等式を適用し、$F = \otimes f_i$ に対して、$\nu$-a.e. で平均 $M_N(F)(z) = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N F(\Phi^k z)$ の収束を示す。
• 同型性を用いて、$\nu$-a.e. 収束結果を元の測度空間に戻す。ここで $\nu$-零集合が $\mu_\Delta$-零集合であることを利用する。
• 周期的集合と非周期的集合への空間の分解を用いて、自由作用から一般の可換系への収束の拡張を実現する。
• 特別な場合 $T_i = T^i$ のとき、$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^n x)\cdots f_H(T^{Hn}x)$ の a.e. 収束を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な測度保存変換に対して、非伝統的エルゴード平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_H(T_H^n x)$ は almost everywhere に収束するか？
• RQ2 この方法を用いて、指数に高次多項式を含む平均の逐次収束を確立できるか？
• RQ3 この結果は非自由作用や周期的成分を含む系へ拡張可能か？
• RQ4 このアプローチを、このような平均を含むエルゴードヒルベルト変換の収束を証明するために適応可能か？

主な発見

• $T_i$ が可換で可逆な測度保存変換であるとき、すべての $f_i \in L^\infty(\mu)$ に対して、平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \prod_{i=1}^H f_i(T_i^n x)$ は almost everywhere に収束する。
• 作用が自由でない場合でも、空間を周期的および非周期的集合に分解し、各成分に収束結果を適用することで、この結果が成立する。
• $T_i = T^i$ の特別な場合において、$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^n x)\cdots f_H(T^{Hn}x)$ の a.e. 収束が示され、エルゴード理論における長年の未解決問題が解決される。
• この方法により、特徴的因子や一様ウィーナー＝ウィンナー推定に依存しない、J. ブルーゲンの a.e. 二重再帰定理の別証明が得られる。
• 平均の収束はまず $X^H$ 上の測度 $\nu$ に関して示され、その後、測度論的同型性を用いて対角測度 $\mu_\Delta$ に移行される。
• 関連研究において M. ワルシュと T. アウストンが示したように、この結果は変換が冪零群を生成する系へも拡張可能であるが、現在の方法は直接的に $n^2$ のような多項式列に適用できない。