[論文レビュー] Polynomial growth of discrete quantum groups, topological dimension of the dual and *-regularity of the Fourier algebra

Alessandro D’Andrea, Claudia Pinzari+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクト量子群の稠密なホップ代数のゲルファンド＝キリロフ（GK）次元とその双対の位相次元との間の関係を確立し、単連結なリー群に対するバニカとベルニウクスの結果を、すべてのコンパクト群へ一般化する。さらに、多項式成長を示すKac型コンパクト量子群に対して、フーリエ代数が∗-正則であることを示し、これは一意なC∗-ノルムと、最大C∗代数とフーリエ代数の原始的理想空間の間のホメオモーフィズムを意味する。

ABSTRACT

Banica and Vergnioux have shown that the dual discrete quantum group of a compact simply connected Lie group has polynomial growth of order the real manifold dimension. We extend this result to a general compact group and its topological dimension, by connecting it with the Gelfand-Kirillov dimension of an algebra. Furthermore, we show that polynomial growth for a compact quantum group G of Kac type implies *-regularity of the Fourier algebra A(G), that is every closed ideal of C(G) has a dense intersection with A(G). In particular, A(G) has a unique C*-norm.

研究の動機と目的

• バニカとベルニウクスによる単連結なコンパクトリー群の双対の多項式成長に関する結果を、すべてのコンパクト群へ拡張すること。
• コンパクト量子群の稠密なホップ代数のゲルファンド＝キリロフ次元を用いて、そのコンパクト量子群の位相次元を定義し、研究すること。
• Kac型コンパクト量子群において、多項式成長とフーリエ代数の∗-正則性との間の構造的関係を確立すること。
• ∗-正則性が、フーリエ代数におけるC∗-ノルムの一意性を意味することを示し、群の多項式成長に関する古典的結果を一般化すること。

提案手法

• コンパクト量子群の表現環の成長率を特定するためにゲルファンド＝キリロフ（GK）次元を用いる。
• 稠密なホップ代数のGK次元と双対量子群の位相次元との関係を確立する。
• 自己随伴バナッハ代数とC∗-完備化の理論を応用し、Kac型コンパクト量子群のフーリエ代数A(G)を分析する。
• GがKac型で多項式成長を示すとき、Cmax(G)とA(G)の原始的理想空間の間の自然な全射Ψ: Prim(Cmax(G)) → Prim(A(G)) がホメオモーフィズムであることを証明する。
• 非Kac型群に対してA(G)上に∙-対合を構成し、∗-正則性の枠組みを拡張する。
• 表現論的技法とℓ¹(Ĝ)およびℓ²(Ĝ)におけるノルム推定を用いて、フーリエ代数内の要素の成長を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト量子群の稠密なホップ代数のゲルファンド＝キリロフ次元は、その双対の位相次元と一致するか？
• RQ2 バニカとベルニウクスによる単連結なコンパクトリー群の多項式成長に関する結果は、すべてのコンパクト群へ拡張可能か？
• RQ3 Kac型コンパクト量子群の多項式成長は、そのフーリエ代数の∗-正則性を意味するか？
• RQ4 群が多項式成長を示すとき、フーリエ代数の最大C∗代数は一意なノルムを持つのか？
• RQ5 非Kac型量子群におけるA(G)上の∙-対合は、∗-正則性をどのように非Kac型群へ一般化するか？

主な発見

• コンパクト群の稠密なホップ代数のゲルファンド＝キリロフ次元は、その位相的（リークス）次元に等しく、バニカとベルニウクスの結果を一般化する。
• 任意のKac型コンパクト量子群Gに対して、表現環(R(G), dim)の多項式成長は、フーリエ代数A(G)が∗-正則であることを意味する。
• GがKac型で多項式成長を示すとき、Cmax(G)とA(G)の原始的理想空間の間の全射Ψ: Prim(Cmax(G)) → Prim(A(G)) はホメオモーフィズムである。
• ∗-正則性のおかげで、フーリエ代数A(G)は一意なC∗-ノルムを持つ。これは、標準的な稠密なホップ代数には共通しない性質である。
• コンパクト量子群の位相次元は、その稠密なホップ代数のGK次元として定義され、有限の位相次元は、双対が有限次元コンパクト行列量子群の帰納的極限であるような量子群を特徴付ける。
• 非Kac型群におけるA(G)上の∙-対合により、フーリエ代数を自己随伴バナッハ代数にできるが、この場合の∗-正則性は未解決の問題のままである。