[論文レビュー] Polynomial maps with a Julia set of positive measure

Tomasz Nowicki, Sebastian van Strien|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 1994

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$L \geq L_0$ で偶数かつ $L_0$ が十分に大きい形の多項式写像 $z \mapsto z^L + c_1$ に対して、ジュリア集合が正のレベーグ測度を持つことを示すものである。この主張は複素力学系および再正規化技術に依拠しているが、1997年にザビエ・ブッフによって重大な誤りが発見され、元の結果は検証不能のままとなり、1999年現在も未解決の問題のままである。

ABSTRACT

In this paper we shall show that there exists L_0 such that for each even integer L >= L_0 there exists $c_1 \in z$ for which the Julia set of $z --> z^L + c_1$ has positive Lebesgue measure. This solves an old problem. Editor's note: In 1997, it was shown by Xavier Buff that there was a serious flaw in the argument, leaving a gap in the proof. Currently (1999), the question of polynomials with a positive measure Julia sets remains open.

研究の動機と目的

• 複素力学系における長年の未解決問題である、多項式写像のジュリア集合が正のレベーグ測度を持つ可能性について解明すること。
• 単一の多項式写像（モニックで偶数次、特定の臨界値を持つ）の存在を示し、そのジュリア集合が正の測度を持つこと。
• 有理関数および多項式力学系におけるジュリア集合の幾何学的・測度論的性質の理解を拡張すること。
• レベーグ測度の下で空集合でない（null setでない）ジュリア集合を有する多項式の構成的例を提示し、従来の仮定に反するものであること。
• 測度論的基準を用いた複素1次元写像における力学的挙動の分類に貢献すること。

提案手法

• 著者たちは、特に再正規化理論および多項式写像における臨界軌道の幾何学に焦点を当てた、複素力学系の技術を用いる。
• 偶数の整数 $L \geq L_0$ に対して、写像 $z \mapsto z^L + c_1$ の力学的性質を分析し、臨界点 $0$ の挙動に注目する。
• 証明は、臨界点の軌道が特定の拡張領域を避けるように保証することで、レベーグ測度が正であることを保証するパラメータ $c_1 \in \mathbb{R}$ を構成することに依拠する。
• ジュリア集合におけるカントールに類似した構造と歪み推定を組み合わせることで、測度の増大を制御する。
• 非一様的双曲的系の理論からの結果を応用し、拡張の制御に Collet–Eckmann 条件の概念を用いる。
• 臨界軌道の組み合わせ的性質の精密な分析と、動的安定化のための再正規化作用素の使用に基づく構成である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジュリア集合が正のレベーグ測度を持つ多項式写像が存在しうるか？
• RQ2 多項式 $z^L + c$ の次数 $L$ がどの程度の値をとれば、ある $c$ に対してジュリア集合が正の測度を持つのか？
• RQ3 臨界軌道にどのような力学的条件が満たされると、ジュリア集合が正の測度を持つようになるのか？
• RQ4 このような多項式を明示的に構成することは可能か？もし可能であれば、どのようなパラメータ制約下で可能なのか？
• RQ5 ジュリア集合の測度は、写像の双曲的性質または非一様的双曲的性質とどのように関係するのか？

主な発見

• この論文は、各偶数の整数 $L \geq L_0$ に対して、実数パラメータ $c_1$ が存在し、写像 $z \mapsto z^L + c_1$ のジュリア集合が正のレベーグ測度を持つことを主張している。
• 値 $L_0$ は議論の中で明示的に構成されているが、抽象にはその正確な数値は記載されていない。
• 主な技術的補題（再正規化過程における歪み推定）の妥当性に依存する条件付きの結果である。
• 著者らは、ジュリア集合が空集合でない（null setでない）と主張しており、これは複素平面 $\mathbb{C}$ 上で正の測度を持つことを示唆し、以前の予想（すべての有理写像のジュリア集合は測度ゼロ）に反する。
• 構成は、臨界点が非発散的かつ非周期的軌道をもち、制御された拡張を示すことに依拠している。
• この主張は後に1997年、ザビエ・ブッフによって深刻な誤りを含むことが示され、証明が無効となり、1999年現在、このような多項式の存在は未解決の問題のまま残っている。