[論文レビュー] Polynomial representations and categorifications of Fock Space

Jiuzu Hong, Oded Yacobi|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$GL_n(\mathbb{F})$ の多項式表現のカテゴリの逆極限を取ることにより、アフィンリ Lie 代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p$（または $\mathfrak{sl}_\infty$）のボゾニック Fock 空間表現のカテゴリ化を構成する。得られたカテゴリ $\mathcal{M}$ は、ルーカイエの意味でグレーディング付きのアフィンリ Lie 代数作用を備えており、Grothendieck 群による実現と退化アフィンヘッケ代数作用を介して Fock 空間がカテゴリ化されることを示す。

ABSTRACT

The rings of symmetric polynomials form an inverse system whose limit, the ring of symmetric functions, is the model for the bosonic Fock space representation of the affine Lie algebra. We categorify this construction by considering an inverse limit of categories of polynomial representation of general linear groups. We show that this limit naturally carries an action of the affine Lie algebra (in the sense of Rouquier), thereby obtaining a famiy of categorifications of the bosonic Fock space representation.

研究の動機と目的

• アフィンリ Lie 代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p$ または $\mathfrak{sl}_\infty$ のボゾニック Fock 空間表現のカテゴリ化を、圏論的極限を用いて構成すること。
• 有限性条件を備えた $GL_n(\mathbb{F})$ の多項式表現のカテゴリ $\mathcal{M}_n$ の逆系として、極限カテゴリ $\mathcal{M} = \varprojlim \mathcal{M}_n$ を定義すること。
• Grothendieck 群 $K(\mathcal{M})$ が対称関数の環 $B$ に自然に同型であることを示し、これにより Fock 空間表現がカテゴリ化されることを確立すること。
• ルーカイエの意味で、$\mathcal{M}$ 上にアフィンリ Lie 代数 $\mathfrak{g}$ の作用を実現し、Fock 空間上の作用を上に上げること。
• チュアン＝ルーカイエ理論を用いて $\mathcal{M}$ のブロック間の導来同値を確立し、ブラウンダン＝クレシュチェフの結果により Fock 空間のクリスタル構造を回復すること。

提案手法

• $GL_n(\mathbb{F})$ の多項式表現のカテゴリ $\mathcal{M}_n$ の逆系を構成し、包含写像 $GL_{n-1} \subset GL_n$ に誘導される $V \mapsto V^{GL_1}$ による構造函手を用いる。
• $\mathcal{M}_n$ の有限性条件を満たす逆系のフル部分カテゴリとして、極限カテゴリ $\mathcal{M} = \varprojlim \mathcal{M}_n$ を定義する。
• Grothendieck 群 $K(\mathcal{M})$ が無限個の変数における対称関数の環 $B$ に自然に同型であることを示す。
• $\mathfrak{g}$ のチーゼル生成子をカテゴリ化する関手の族を構成し、これにより $\mathfrak{g}$ の整数的表現が得られることを示す。
• ルーカイエのカテゴリフィケッド量子群の枠組みに従い、分類化されたチーゼル生成子の直和に退化アフィンヘッケ代数作用を導入する。
• $T \mapsto (T(\mathbb{F}^n), \alpha_n)$ による割当を用いて、カテゴリ $\mathcal{M}$ と厳密多項式関手のカテゴリ $\mathcal{P}$ の間の同値を確立し、各次数における同型を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称関数の環の逆極限構成が、カテゴリカルレベルに持ち上げられ、Fock 空間表現のカテゴリ化をもたらすか？
• RQ2 $GL_n(\mathbb{F})$ の多項式表現の極限カテゴリ $\mathcal{M}$ は、自然にアフィンリ Lie 代数 $\mathfrak{g} = \widehat{\mathfrak{sl}}_p$ または $\mathfrak{sl}_\infty$ の作用を備えているか？
• RQ3 $\mathcal{M}$ の Grothendieck 群と古典的 Fock 空間の関係は何か？ そして、標準的な Fock 空間作用が $\mathcal{M}$ 上の関手に持ち上げられるか？
• RQ4 ブラウンダン＝クレシュチェフ理論の予測に従い、$\mathcal{M}$ の単純対象から Fock 空間のクリスタル構造を回復できるか？
• RQ5 カテゴリフィケイテッド Fock 空間と厳密多項式関手のカテゴリとの間の関係は何か？ そして、この同値は構成をどのように支援するか？

主な発見

• Grothendieck 群 $K(\mathcal{M})$ は対称関数の環 $B$ に自然に同型であり、古典的 Fock 空間がテンソルカテゴリの Grothendieck 群として実現されることを示す。
• $\mathcal{M}$ は、ルーカイエの意味で、アフィンリ Lie 代数 $\mathfrak{g}$ の明確な作用を備えており、標準的な Fock 空間表現を上に上げることに成功している。
• カテゴリフィケイテッド作用には、退化アフィンヘッケ代数作用が、分類化されたチーゼル生成子の直和上に備えられており、強いカテゴリフィケーションに必要な関係を満たしている。
• チュアン＝ルーカイエ理論を用いて、$\mathcal{M}$ のブロック間の導来同値が得られ、カテゴリフィケイテッドリ代数作用に起因する。
• Fock 空間のクリスタルグラフは、$\mathcal{M}$ の単純対象から回復され、頂点は単純表現に対応し、辺は降下作用素の作用に対応する。
• $T \mapsto (T(\mathbb{F}^n), \alpha_n)$ による割当により、カテゴリ $\mathcal{M}$ と厳密多項式関手のカテゴリ $\mathcal{P}$ は同値であり、$\alpha_n$ は射影 $\pi_n: \mathbb{F}^{n+1} \to \mathbb{F}^n$ に誘導される。