[論文レビュー] Polynomial-time isomorphism testing of groups of most finite orders

Heiko Dietrich, James B. Wilson|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、型理論的モデルを用いて入力の正しさを保証するブラックボックス型のアーベル群および素因数が互いに素なメタ巡回群に対して、多項式時間の同型性テストアルゴリズムを提示する。群の位数が稠密な集合をなす場合、同型性テストが log n の多項式時間で行えることが示され、従来の指数時間法に比べ顕著な改善がなされた。

ABSTRACT

[PLEASE SEE COMMENT] We consider the isomorphism problem for finite abelian groups and finite meta-cyclic groups. We prove that for a dense set of positive integers $n$, isomorphism testing for abelian groups of black-box type of order $n$ can be done in time polynomial in $\log n$. We also prove that for a dense set of orders $n$ with given prime factors, one can test isomorphism for coprime meta-cyclic groups of black-box type of order $n$ in time polynomial in $\log n$. Prior methods for these two classes of groups have running times exponential in $\log n$.

研究の動機と目的

• 群演算がオракルを介してアクセス可能なブラックボックス群モデルにおいて、有限アーベル群およびメタ巡回群の効率的な同型性テストアルゴリズムを開発すること。
• 従来の指数時間法に起因する制限を克服し、同型性テストが多項式時間で行えるような、稠密な群の位数の集合を同定すること。
• ブラックボックス群アルゴリズムにおける不正な入力の根本的問題を、入力が常に有効な群であることを保証する型理論的モデルを採用することで解決すること。
• ブラックボックス群アルゴリズムの実用的使用と形式的計算複雑性理論の調和を図るため、型安全性によりプロミス問題から決定問題へと移行すること。

提案手法

• すべての入力が既知の群型の項として扱われる型理論的モデルを活用し、入力が構成上常に有効な群であることを保証することで、不正な入力の発生を排除する。
• 数論的密度結果と群論的制約を用いて、群構造が十分に制限されており、効率的な同型性テストが可能となる整数の集合 D および D̂ を定義する。
• 位数 n ∈ D の群の構造（小さな素数べきと大きな平方自由部を持つ）を活用し、同型性テストを制御された環境下での離散対数問題および因数分解問題に還元する。
• メタ巡回群に対してはラスベガス確率的アルゴリズムを用い、型システムによる正しさの保証と、許容可能な位数の密度および構造による効率性を両立する。
• 任意の入力に対して動作する構成的メンバー識別を導入し、より大きな環境群に属するものという仮定を必要とせず、プロミス問題に依存しない絶対的メンバー識別を可能にする。
• Erdős-Pálfi および Karagiorgos-Poulakis の先行結果を活用し、有利な群論的性質を持つ位数の密度を特徴づけ、効率的アルゴリズムの構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベルブラックボックス群の同型性テストは、稠密な群の位数の集合に対して多項式時間で可能となるか？
• RQ2 非アーベル群のどのクラスに対して、ブラックボックスモデル下で同型性テストが多項式時間で可能となるか？
• RQ3 ブラックボックス群アルゴリズムにおける不正な入力の根本的問題は、形式的計算モデル内ですべての入力が有効な群であることを保証する型理論的モデルによってどのように解決できるか？
• RQ4 型理論は、群論的計算におけるプロミス問題を決定問題に変換するためにどの程度活用可能か？
• RQ5 どのような群の位数に関する構造的制約が、一般に難しい問題であるにもかかわらず、効率的な同型性テストを可能にするか？

主な発見

• 稠密な整数の集合 D に対して、n ∈ D であるアーベルブラックボックス群の同型性テストは、log n の多項式時間で実行可能であり、従来の指数時間法に比べ顕著な改善がなされた。
• 集合 D は、n = p₁^e₁⋯pₖ^eₖb の形の整数からなる。ここで、pᵢ ≤ log log n、pᵢ^eᵢ ≤ log n、b は平方自由で、すべての素因数が log log n より大きい。また、|D ∩ {1,…,10⁸}| / 10⁸ ≈ 0.848 である。
• D の稠密な部分集合 D̂ ⊆ D に対して、同型性テストが多項式時間で行えるラスベガスアルゴリズムが存在し、n ∈ D̂ である互いに素なメタ巡回ブラックボックス群の同型性をテスト可能である。|D̂ ∩ {1,…,10⁸}| / 10⁸ ≈ 0.721 である。
• 型理論的モデルにより、すべての入力が有効な群であることが保証され、プロミス問題の必要性がなくなり、証明における正しく決定的な推論が可能になった。
• 構成的メンバー識別が副次的成果として得られ、より大きな環境群に属するものという仮定を必要とせず、任意の要素に対するメンバー識別が可能になった。
• 結果として、大多数の群の位数に対して、ブラックボックスモデル下で同型性問題が扱いやすくなることが示されたが、一般には非決定的チューリングマシンにとって難しい問題である。