[論文レビュー] Polyvector fields and polydifferential operators associated with Lie pairs

Ruggero Bandiera, Mathieu Stiénon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 62被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Lie対 (L, A) に関連する多ベクトル場および多微分作用素のChevalley–Eilenbergコホモロジー複体が、構築されたFedosov dg Lie アーベイドからホモトピー転送を用いて自然な L∞-代数構造を有することを確立する。これらの構造は、コホモロジー上に一意なGerstenhaber代数構造を誘導し、Kontsevichの形式性定理をfoliationや複素幾何学的文脈で自然な dgla 構造が存在しない状況に一般化する。

ABSTRACT

We prove that the spaces tot (Γ(λ•A)⊗Rt•polly;) and tot (Γ(λ•A)⊗RD•polly;) associated with a Lie pair (L,A) each carry an L∞algebra structure canonical up to an L1 isomorphism with the identity map as linear part. These two spaces serve, respectively, as replacements for the spaces of formal polyvector fields and formal polydifferential operators on the Lie pair (L,A). Consequently, both H•CE(A t•polly;) and H•CE(A D•polly;) admit unique Gerstenhaber algebra structures. Our approach is based on homotopy transfer and the construction of a Fedosov dg Lie algebroid (i.e. a dg foliation on a Fedosov dg manifold).

研究の動機と目的

• 一般のLie 対に対して、多ベクトル場および多微分作用素のチェイン複体に自然な dgla や L∞-代数構造が欠落している問題を解決すること。
• Kontsevichの形式性定理をLie 対に一般化し、関連コホモロジー複体に自然な L∞-代数構造を構成すること。
• コホモロジー群 H•_CE(A, T•_poly) および H•_CE(A, D•_poly) が一意なGerstenhaber代数構造を有することを確立すること。
• ホモトピー転送により、モデル dgla から元の複体へ L∞-構造を転送できる幾何的枠組み—Fedosov dg Lie アーベイド—を構築すること。
• Lie 対の形式的を用いて、foliation や複素多様体などの非自明な幾何的設定へ形式性定理を拡張すること。

提案手法

• Lie 対の幾何を符号化するホモロジー的ベクトル場 Q を備えた、M = L[1] ⊕ L/A の次数付き多様体 M 上にFedosov dg多様体構造を構成する。
• Fedosov dg多様体上に自然な dg 可積分分布 F ⊂ TM を定義し、F → M としてFedosov dg Lie アーベイドを得る。
• Dolgushev–Fedosov の縮約技術を用いて、F 上の多ベクトル場および多微分作用素の自然な dgla 構造を元の複体へ転送する。
• L∞-代数のホモトピー転送定理を用い、tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R T•_poly) および tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R D•_poly) 上に自然な L∞-代数構造を誘導する。
• 誘導された L∞-構造が、線形部が恒等写像である L∞-同型を除いて一意であることを確立する。
• 一致するLieアーベイドのペアにこの構成を適用し、複素幾何学およびfoliation幾何学における既知の構造を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie 対 (L, A) に関連する多ベクトル場および多微分作用素のチェイン複体に、その結合的乗法と整合する自然な L∞-代数構造を導入できるか？
• RQ2 Chevalley–Eilenberg コホモロジー群 H•_CE(A, T•_poly) および H•_CE(A, D•_poly) は一意なGerstenhaber代数構造を有するか？
• RQ3 Fedosov dg Lie アーベイドを介した幾何的構成によって、Lie 対の多ベクトル場と多微分作用素の間の形式性が実現可能か？
• RQ4 これらの複体上の L∞-代数構造は、変形量子化における既知の形式性定理とどのように関係するか？
• RQ5 この構成は、一致するLieアーベイドのペアへ拡張可能であり、複素幾何学およびfoliation幾何学における既知の結果を回復できるか？

主な発見

• tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R T•_poly) および tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R D•_poly) は、線形部が恒等写像である L∞-同型を除いて一意な自然な L∞-代数構造を有する。
• これらの L∞-構造は、コホモロジー群 H•_CE(A, T•_poly) および H•_CE(A, D•_poly) 上に一意なGerstenhaber代数構造を誘導する。
• Fedosov dg Lie アーベイドによるこの構成は、任意の Lie 対 (L, A) に対して多ベクトル場と多微分作用素の間の形式性の幾何的実現を提供する。
• 複素多様体の場合（L = TX⊗C, A = T0,1_X）、コホモロジー群はそれぞれ H•(X, Λ•TX) および HH•(X) に同型であり、Gerstenhaber代数構造を誘導する。
• 一致するペアの場合、構成により Ω0,•(T•_poly(X)) および Ω0,•(D•_poly(X)) 上に既知の dgla 構造（それぞれ ∂ および ∂+dH）が回復される。
• この方法により、Kontsevichの形式性定理が滑らかな多様体を超えて、Lie 対、特にfoliation や複素多様体へ一般化され、これらの設定で自然な dgla 構造が欠落している問題が解決される。