[論文レビュー] Positive forms on hyperkahler manifolds

Misha Verbitsky|Osaka City University (Osaka City University)|Jan 12, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、超ケーラー多様体上の $\partial$-閉で正の $(2p,0)$-形式から、閉で正の $(n+p,n+p)$-形式への単射 ${\cal V}_{p,p}$ を導入することで、古典的複素幾何学の定理の超ケーラー的類似を確立する。これにより、スコーダ＝エルミルの定理およびシボニーの補題の超ケーラー版が可能となり、クaternion的設定下での擬極小集合上での正性および閉性の拡張が達成される。主な貢献は、擬極小集合上での正性および閉性の性質を、クaternion的文脈に拡張することであり、導来直接像の多様体的安定性への応用が得られる。

ABSTRACT

Let $(M,I,J,K)$ be a hyperkaehler manifold, $\dim_\R M =4n$. We study positive, Dolbeault-closed $(2p,0)$-forms on $(M,I)$. These forms are quaternionic analogues of the positive $(p,p)$-forms. We construct an injective homomorphism mapping Dolbeault-closed $(2p,0)$-forms to closed $(n+p,n+p)$-forms, and positive $(2p,0)$-forms to positive $(n+p,n+p)$-forms. This construction is used to prove a hyperkaehler version of the classical Skoda-El Mir theorem, which says that a trivial extension of a closed, positive current over a pluripolar set is again closed. We also prove the hyperkaehler version of the Sibony's lemma, showing that a closed, positive $(2p,0)$-form defined outside of a compact complex subvariety $Z\subset (M,I)$, $\codim Z > 2p$ is locally integrable in a neighbourhood of $Z$. These results are used to prove polystability of derived direct images of certain coherent sheaves.

研究の動機と目的

• 超ケーラー多様体における複素幾何学の正の $(p,p)$-形式のクaternion的類似を構築すること。
• 擬極小集合上への閉で正の電流の拡張を可能にする、超ケーラー的スコーダ＝エルミルの定理を確立すること。
• 余次元 $>2p$ の部分多様体の外で定義された正の $(2p,0)$-形式の局所可積分性を保証する、超ケーラー的シボニーの補題を証明すること。
• これらの結果を、超ケーラー多様体上の連接層の導来直接像の多様体的安定性の証明に応用すること。

提案手法

• SL(n,$\mathbb{H}$)-多様体上での単射 ${\cal V}_{p,q}: \Lambda^{p+q,0}_I(M) \to \Lambda^{n+p,n+q}_I(M)$ を構築し、$\partial$-閉 $(2p,0)$-形式と閉 $(n+p,n+p)$-形式との関係を確立する。
• 弱正性と実性条件を用いて正の $(2p,0)$-形式を定義する：$\eta(x_1, J(\bar{x}_1), \dots, x_p, J(\bar{x}_p)) \geq 0$ および $\eta = J(\overline{\eta})$。
• 同型 ${\cal R}_{p,p}$ を用いてクaternion形式を標準的複素 $(p,p)$-形式に写像し、古典的複素解析的道具の適用を可能にする。
• 近似形式 $R(\rho_i)$ に対するストークスの定理と極限議論を用いて、$\int_D \eta \wedge \rho \wedge \Omega^{n-2} \wedge \overline{\Omega}^n$ 形式の積分を評価する。
• 古典的スコーダ＝エルミルの定理を、${\cal R}_{p,p}$ 写像を通じて標準的複素幾何学に問題を移行させることで活用する。
• 近似形式 $R(\rho_i)$ が $Z$ の近傍で消えることから、$\eta \wedge R(\rho_i) \wedge \Omega^{n-2}$ が $U$ 上で正しく定義され、正であることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スコーダ＝エルミルの定理は、擬極小集合上に $\partial$-閉で正の $(2p,0)$-形式が存在する超ケーラー的設定に拡張可能か？
• RQ2 余次元 $>2p$ のコンパクト複素部分多様体 $Z$ の外で定義された閉で正の $(2p,0)$-形式は、$Z$ の近傍で局所可積分か？
• RQ3 超複素多様体上の $(2p,0)$-形式に対する正性の概念を、複素 $(p,p)$-形式の正性を模倣する形で形式化できるか？
• RQ4 単射 ${\cal V}_{p,p}$ はクaternion的および複素のホッジ的構造をどのように関連付けるか？
• RQ5 近似法と積分の評価を用いて、超ケーラー的シボニーの補題を証明できるか？

主な発見

• 単射 ${\cal V}_{p,p}$ は、$\partial$-閉で正の $(2p,0)$-形式を、閉で正の $(n+p,n+p)$-形式へ写像し、両性質を保存する。
• 擬極小集合上への拡張に関して、超ケーラー的スコーダ＝エルミルの定理が成り立つ：$\partial$-閉で正の $(2p,0)$-形式の自明な拡張は $\partial$-閉である。
• シボニーの補題は超ケーラー的設定でも成立する：余次元 $>2p$ の部分多様体 $Z$ の外で定義された閉で正の $(2p,0)$-形式は、$Z$ の近傍で局所可積分である。
• コンパクトな $D \subset U \setminus Z$ に対して、積分 $\int_D \eta \wedge \Omega^{n-1} \wedge \overline{\Omega}^n$ は普遍的に有界であり、局所可積分性を示唆する。
• 証明は、ストークスの定理を用いて積分を表現し、近似形式 $R(\rho_i)$ が境界 $\partial U$ 上で収束することを示すことで成り立つ。
• これらの結果は、超ケーラー多様体上の特定の連接層の導来直接像の多様体的安定性の証明に応用される。