[論文レビュー] Positive $L^p$-bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications

Д. В. Горбачев, В. И. Иванов+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Dunkl型一般化移動作用素 $\tau^y$ の球面平均として正の $L^p$-有界一般化移動作用素 $T^t$ を導入し、その有界性を確立した上で、$T^t$ を用いて $T^t$ を用いて定義された畳み込みに関するヤングの不等式を証明した。主な貢献は、$p>2$ における径数関数上の $\tau^y$ の $L^p$-有界性に加え、Dunkl重み付き $L^p$-空間における直接的および逆の定理、およびリーマン作用素の有界性である。

ABSTRACT

We prove that the spherical mean value of the Dunkl-type generalized translation operator $τ^y$ is a positive $L^p$-bounded generalized translation operator $T^t$. As application, we prove the Young inequality for a convolution defined by $T^t$, the $L^p$-boundedness of $τ^y$ on a radial functions for $p>2$, the $L^p$-boundedness of the Riesz potential for the Dunkl transform and direct and inverse theorems of approximation theory in $L^p$-spaces with the Dunkl weight.

研究の動機と目的

• 標準的なDunkl一般化移動作用素 $\tau^y$ が一般の場合に $L^p$-有界でないという欠落を補うこと。
• 正でかつ $L^p$-有界である作用素 $T^t$ を、$\tau^y$ の球面平均として構成すること。
• $T^t$ を用いて $T^t$ を用いて定義された畳み込みに関するヤングの不等式を証明し、既知の結果を拡張すること。
• $\tau^y$ が $p>2$ の径数関数上で $L^p$-有界であることを確立すること。これは、$1\leq p\leq 2$ の場合の先行研究を補完するものである。
• $T^t$ を用いて、Dunkl重み付き $L^p$-空間における近似理論の直接的および逆の定理を、$T^t$ を用いた滑らかさのモジュラスと $K$-汎関数を用いて導出すること。

提案手法

• Dunkl型一般化移動作用素 $\tau^y$ の球面平均として作用素 $T^t$ を定義し、正および $L^p$-有界性を保証する。
• $T^t$ が $1 \leq p \leq \infty$ に対して正の $L^p$-有界作用素であることを、Rösler らの結果および先行研究の性質を用いて証明する。
• $T^t$ を用いた畳み込みを構成し、Thangavelu と Xu が知っている畳み込みと一致させることで、古典的調和解析の道具を適用可能にする。
• $T^t$ の $L^p$-有界性を用いて、$T^t$ を用いて定義された畳み込みにおけるヤングの不等式を確立する。
• $T^t$ の有界性を応用して、$p>2$ の場合に $\tau^y$ が径数関数上で $L^p$-有界であることを証明し、以前の結果を拡張する。
• $T^t$ を用いて、滑らかさのモジュラスと $K$-汎関数を定義し、それらが互いに同値であることを示し、重み付き $L^p$-空間における直接的および逆の近似定理を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dunkl型一般化移動作用素 $\tau^y$ の球面平均は、正で $L^p$-有界な作用素 $T^t$ を構成するために用いることができるか？
• RQ2 $T^t$ を用いて定義された畳み込みに関して、ヤングの不等式を証明することができるか？
• RQ3 一般化移動作用素 $\tau^y$ は $p>2$ の場合に径数関数上で $L^p$-有界であるか？
• RQ4 $T^t$ を用いて、Dunkl重み付き $L^p$-空間における滑らかさのモジュラスと $K$-汎関数の同値性を確立できるか？
• RQ5 $T^t$ を用いた畳み込みの結果は、Dunkl設定におけるリーマン作用素の有界性にどのような影響を及えるか？

主な発見

• $\tau^y$ の球面平均として表される $T^t$ は、$1 \leq p \leq \infty$ に対して正の $L^p$-有界作用素であり、Dunkl調和解析における重要な空白を埋めた。
• $T^t$ を用いて定義された畳み込みに関してヤングの不等式が成り立ち、Dunkl設定における $L^p$-理論の基盤的ツールを提供する。
• $\tau^y$ は $p>2$ の場合に径数関数上で $L^p$-有界であることが示され、すべての $p \geq 1$ における有界性の完全な像を完成させた。
• Dunkル変換に関連するリーマン作用素は $L^p$-有界であり、$T^t$ の $L^p$-有界性に基づく新しい証明が得られた。
• $T^t$ を用いて定義された滑らかさのモジュラスと $K$-汎関数は、Dunkl重み付き $L^p$-空間で同値であることが示され、直接的および逆の近似定理が可能になった。
• Dunkl重み付き $L^p$-空間における近似理論の逆定理が確立され、適切な条件下で $K$-汎関数と滑らかさのモジュラスが同値であることが示された。