[論文レビュー] Positive scalar curvature, higher rho invariants and localization algebras

Zhizhang Xie, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、境界を有するスピン多様体上のディラック作用素の高次のインデックス類と、境界におけるディラック作用素の高次のロータ不変量との間の明確な関係を、局在化代数を用いて定義・計算することで確立する。主な結果は、多様体上の高次のインデックス類の $K$-理論的境界が、境界における高次のロータ不変量に等しいことを示しており、ピアザとシュィックの研究を拡張し、非可換位相的トポロジーを用いた正のスカラー曲率の障害を研究するための新たな枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we use localization algebras to study higher rho invariants of closed spin manifolds with positive scalar curvature metrics. The higher rho invariant is a secondary invariant and is closely related to positive scalar curvature problems. The main result of the paper connects the higher index of the Dirac operator on a spin manifold with boundary to the higher rho invariant of the Dirac operator on the boundary, where the boundary is endowed with a positive scalar curvature metric. Our result extends a theorem of Piazza and Schick.

研究の動機と目的

• 境界を有する多様体におけるアティヤ＝パトディ＝サインターの高次のインデックス理論を、局在化代数を用いて拡張すること。
• 正のスカラー曲率の下で、境界ディラック作用素の高次のロータ不変量を定義・計算すること。
• 多様体上の高次のインデックス類と境界における高次のロータ不変量との間の明確な関係を確立すること。
• 境界を有する多様体における正のスカラー曲率計量の障害を研究するための $K$-理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 離散群 $\Gamma$ が固有かつコンパクトな等長作用をもつ固有距離空間 $X$ に関連する局在化代数 $C^\bullet_{L,0}(X)^{\flat}$ と $C^\bullet_L(X)^{\flat}$ を用いる。
• 短完全系列 $0 \to C^\bullet_{L,0}(X)^{\Gamma} \to C^\bullet_L(X)^{\Gamma} \to C^\bullet(X)^{\Gamma} \to 0$ に対する $K$-理論の6項完全系列を適用する。
• canonical boundary maps $\partial_i$ を構成し、$K_*(D^*(X)^\Gamma)$ を $K_{*-1}(C^{\bullet}_{L,0}(X)^\Gamma)$ に結びつける。
• 高次のロータ不変量 $\rho(D_{\partial M}, h)$ を $K_{m-1}(C^{\bullet}_{L,0}(\partial M)^\Gamma)$ 内の元として定義する。
• Mayer-Vietorisおよび5項補題の議論を用いて、同型 $\alpha_i: K_i(D^*(X)^\Gamma) \to K_{i-1}(C^\bullet_{L,0}(X)^\Gamma)$ と $\beta_i: K_i(D^*(X)^\Gamma / C^\bullet(X)^\Gamma) \to K_{i-1}(C^\bullet_L(X)^\Gamma)$ を確立する。
• 等置 $K_*(C^\bullet_L(X)^\Gamma)$ を $\Gamma$-不変 $K$-ホモロジー $K_*^\Gamma(X)$ と自然に同一視することで、高次のロータ不変量を幾何学的に解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のスカラー曲率を有するスピン多様体の境界における高次のロータ不変量は、全多様体上のディラック作用素の高次のインデックス類とどのように関係するか。
• RQ2 局在化代数は、群作用と正のスカラー曲率の下で、高次のロータ不変量を定義・計算するための堅牢な枠組みを提供できるか。
• RQ3 多様体に境界を有する場合、高次のインデックス類から境界における高次のロータ不変量への canonical boundary map は存在するか。
• RQ4 高次のロータ不変量は、$K$-理論的設定において、高次のイータ不変量と同一の正のスカラー曲率の障害を捉えているか。
• RQ5 同型 $K_*(D^*(X)^\Gamma)$ と $K_{*-1}(C^\bullet_{L,0}(X)^\Gamma)$ の間の関係を用いて、既存の定義と一致する canonical 高次のロータ不変量を定義できるか。

主な発見

• スピン多様体 $M$ の境界 $\partial M$ を有する場合、ディラック作用素の高次のインデックス類 $\mathrm{Ind}(D_M)$ は、canonical boundary map を通じて $K_{m-1}(C^\bullet_{L,0}(\partial M)^\Gamma)$ 内の高次のロータ不変量 $\rho(D_{\partial M}, h)$ に写される。
• $\partial_1: K_1(C^\bullet_L(M)^\Gamma) \to K_0(C^\bullet_{L,0}(M)^\Gamma)$ は、高次のインデックス類の境界を、境界における高次のロータ不変量に同定する。
• $\alpha_1: K_1(D^*(\partial M)^\Gamma) \to K_0(C^\bullet_{L,0}(\partial M)^\Gamma)$ による同型は、高次のロータ不変量の $K$-理論的実現を提供する。
• 高次のロータ不変量 $\rho(D_{\partial M}, h)$ は、同型 $\alpha_i$ を通じて、Higson と Roe [18, Definition 7.1] の定義と同値である。
• この構成は自然であり、$K$-理論における6項完全系列と可換であり、フレームワーク全体に一貫性を保証する。
• この結果は、Piazza と Schick の定理 1.17 を、群作用と局在化代数の設定にまで拡張することで一般化している。